如图.CD是经过∠BCA顶点C的一条直线.CA=CB．E.F分别是直线CD上两点.且∠BEC=∠CFA=∠a．(1)若直线CD经过∠BCA的内部.且E.F在射线CD上.请解决下面两个问题:①如图l.若∠BCA=90°.∠a=90°.则BE=CF,EF=|BE-AF|,②如图(2).若0°＜∠BCA＜180°.请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件∠α+∠BCA=180°.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

1．如图，CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA=CB．E，F分别是直线CD上两点，且∠BEC=∠CFA=∠a．
（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上，请解决下面两个问题：
①如图l，若∠BCA=90°，∠a=90°，则BE=CF；EF=|BE-AF|（填“＞”，“＜”或“=”）；
②如图（2），若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件∠α+∠BCA=180°，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立．
（2）如图，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α=∠BCA，请提出EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．

分析（1）①求出∠BEC=∠AFC=90°，∠CBE=∠ACF，根据AAS证△BCE≌△CAF，推出BE=CF，CE=AF即可；
②求出∠BEC=∠AFC，∠CBE=∠ACF，根据AAS证△BCE≌△CAF，推出BE=CF，CE=AF即可；
（2）求出∠BEC=∠AFC，∠CBE=∠ACF，根据AAS证△BCE≌△CAF，推出BE=CF，CE=AF即可．

解答解：（1）①如图1中，

E点在F点的左侧，
∵BE⊥CD，AF⊥CD，∠ACB=90°，
∴∠BEC=∠AFC=90°，
∴∠BCE+∠ACF=90°，∠CBE+∠BCE=90°，
∴∠CBE=∠ACF，
在△BCE和△CAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EBC=∠ACF}\\{∠BEC=∠AFC}\\{BC=AC}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△CAF（AAS），
∴BE=CF，CE=AF，
∴EF=CF-CE=BE-AF，
当E在F的右侧时，同理可证EF=AF-BE，
∴EF=|BE-AF|；
故答案为=，=．

②∠α+∠ACB=180°时，①中两个结论仍然成立；
证明：如图2中，

∵∠BEC=∠CFA=∠a，∠α+∠ACB=180°，
∴∠CBE=∠ACF，
在△BCE和△CAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EBC=∠ACF}\\{∠BEC=∠AFC}\\{BC=AC}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△CAF（AAS），
∴BE=CF，CE=AF，
∴EF=CF-CE=BE-AF，
当E在F的右侧时，同理可证EF=AF-BE，
∴EF=|BE-AF|；
故答案为∠α+∠ACB=180°．

（2）EF=BE+AF．
理由是：如图3中，

∵∠BEC=∠CFA=∠a，∠a=∠BCA，
又∵∠EBC+∠BCE+∠BEC=180°，∠BCE+∠ACF+∠ACB=180°，
∴∠EBC+∠BCE=∠BCE+∠ACF，
∴∠EBC=∠ACF，
在△BEC和△CFA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EBC=∠FCA}\\{∠BEC=∠CFA}\\{BC=CA}\end{array}\right.$，
∴△BEC≌△CFA（AAS），
∴AF=CE，BE=CF，
∵EF=CE+CF，
∴EF=BE+AF．