Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣x+b的图象与反比例函数（k＞0）的图象相交于A，B两点，与x轴相交于点C(4，0)，且点B(3，n)，连接OB．

（1）求一次函数和反比例函数的表达式；

（2）求△BOC的面积；

（3）将直线AB向下平移，若平移后的直线与反比例函数的图象只有一个交点，试说明直线AB向下平移了几个单位长度．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x+4，y＝；（2）2；（3）4+2或4﹣2

【解析】

（1）用待定系数法即可求解；

（2）△BOC的面积＝OC×BD＝×4×1＝2；

（3）直线AB向下平移m个单位后和反比例函数只有一个公共点，则＝﹣x+4﹣m，整理得：x2+（m﹣4）x+3＝0，△＝b2﹣4ac＝0，即可求解．

（1）将点C的坐标代入一次函数表达式y＝﹣x+b并解得：b＝4，

故一次函数的表达式为：y＝﹣x+4，

将点B的坐标代入y＝﹣x+4得：n＝﹣3+4＝1，故点B（3，1），

将点B的坐标代入反比例函数表达式并解得：k＝3，

故反比例函数表达式为：y＝；

（2）过点B作BD⊥x轴于点D，则BD=1，又OC=4，

则△BOC的面积＝OC×BD＝×4×1＝2；

（3）将直线AB向下平移m个单位（m＞0）得到直线的表达式为：y＝﹣x+4+m，

∵直线AB向下平移m个单位后和反比例函数只有一个公共点，则＝﹣x+4﹣m，整理得：x2+（m﹣4）x+3＝0，

∴△＝b2﹣4ac＝（m﹣4）2﹣4×1×3＝0，解得：m＝4±2，

故直线AB向下平移了4+2或4﹣2个长度单位．