Question

如图，在⊙O中，AB是直径，弦CD⊥AB于点H，E为AB延长线上一点，CE交⊙O于点F；
（1）求证：BF平分∠DFE；
（2）若DF=EF，BE=5，CH=3，求⊙O的半径．

Answer 1

（1）证明：连BD，∵四边形BDCE是⊙O的内接四边形，
∴∠CDB+∠CFB=180°，
∵∠EFB+∠CFB=180°，
∴∠EFB=∠CDB，
∵AB是直径，弦CD⊥AB，
∴

CB

=

DB

，
∴∠DFB=∠CDB，
∴∠DFB=∠EFB，
∴BF平分∠DFE；

（2）∵DF=EF，∠DFB=∠EFB，
∵FE=FE，
∴△FBD≌△FBE，
∴DB=BE=5，
∵AB是直径，弦CD⊥AB，
∴DH=CH=3，
∴BH=4，连AC，则△ACH∽△DBH，
∴AH?BH=CH?DH，
∴AH=

9

4

，
∴直径AB=

25

4

，
∴⊙O的半径为

25

8

．