Question

【题目】阅读材料：如图1，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为A（x1 ， y1），B（x2，y2），AB中点P的坐标为（xp，yp）．由xp﹣x1=x2﹣xp，得xp= ，同理yp= ，所以AB的中点坐标为（，）．由勾股定理得AB2=|x2﹣x1|2+|y2﹣y1|2，所以A、B两点间的距离公式为AB=．这两公式对A、B在平面直角坐标系中其它位置也成立．解答下列问题：

（1）已知M（1，﹣2），N（﹣1，2），直接利用公式填空：MN中点坐标为________，MN=________．

（2）如图2，直线l：y=2x+2与抛物线y=2x2交于A、B两点，P为AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线于点C．

（a）求A、B两点的坐标及C点的坐标；

（b）连结AB、AC，求证△ABC为直角三角形；

（c）将直线l平移到C点时得到直线l′，求两直线l与l′的距离.

Answer 1

【答案】（1）（0，0）；2；（2）（a）A（ ，3﹣ ）；B（ ，3+ ）； C（ ， ）；（b）证明见解析；（c）.

【解析】

（1）根据中点坐标公式，两点间的距离公式，可得答案；
（a）根据解方程组，可得A，B点坐标，根据中点坐标公式，可得P点坐标，根据平行于y轴的直线横坐标相等，可得C点横坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得C点坐标；
（b）根据勾股定理及勾股定理的逆定理，可得答案；
（c）根据三角形的面积不同表示，可得关于CD的方程，根据解方程，可得答案．

（1）（0，0）；2

（2）解：（a）联立直线、抛物线，得 ，

解得 ， ，

即B（ ，3+ ），A（ ，3﹣ ）．

由P是AB的中点，得

P（ ，3）

当x= 时，y=2x2= ，即C点坐标为（ ， ）．

（b）AB2=（ ﹣ ）2+（3+ ﹣3+ ）2=25；

BC2=（ ﹣ ）2+（3+ ﹣ ）2= ﹣5 ；

AC2=（ ﹣ ）2+（3﹣ ﹣ ）2= +5 ，

∵AC2+BC2=AB2 ，

∴∠ACB=90°

∴△ABC是直角三角形；

（c）如图

作CD⊥AB于D点，CD 是两直线间的距离，

S△ABC= ABCD= ACBC，

×5CD= × ，

解得CD= ．

两直线l与l′的距离是