题目内容
【题目】（1）问题提出：如图（1），在直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点D为AC上一点且AD＝2，过点D作直线DE交△ABC于点E，使得△ABC被分成面积相等的两部分，则DE的长为 ．
（2）类比发现：如图（2），五边形ABOCD，各顶点坐标为：A（3，4），B（0，2），O（0，0），C（4，0），D（4，2）请你找出一条经过顶点A的直线，将五边形ABOCD分为面积相等的两部分，求出该直线对应的函数表达式．
（3）如图（3），王叔叔家有一块四边形菜地ABCD，他打算过D点修一条笔直的小路把四边形菜地ABCD分成面积相等的两部分，分别种植不同的农作物，已知AB＝AD＝200米，BC＝DC＝200
米，∠BAD＝90°过点D是否存在一条直线将四边形ABCD的面积平分？若存在，求出平分该四边形面积的线段长：若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
；（2）y＝
x﹣4；（3）存在，长度为
【解析】
（1）如图1中，取AC的中点F，连接BF，BD，作FE∥BD交BC于E，连接DE交BF于O，结合三角形面积，再利用相似三角形的性质可求出CE的长，最后利用勾股定理即可求解；
（2）如图2中，连接AO、AC，作BE∥AO交x轴于E，DF∥AC交x轴于F，EF的中点为M，则直线AM平分五边形ABCOD的面积，根据点坐标可求出直线AO，BE，AC，DF的解析式，从而可求出点E，F,M的坐标，从而可得出直线AM的解析式；
（3）先求出四边形ABCD的面积，即可求出四边形ABQD的面积，从而求出QM，再利用平行线分线段成比例定理求出BM，即可得出DM，最后利用勾股定理即可．
解：（1）如图1中，取AC的中点F，连接BF，BD，作FE∥BD交BC于E，连接DE交BF于O．
∵AF=FC，
∴S△AFB=S△BFC，
∵BD∥EF，
∴S△BDE=S△BDF，
∴S△DFO=S△BOE，
∴S△ECD=S四边形ABED，
∴DE平分△ABC的面积，
∵AC=8，AD=2，
∴AF=CF=4，DF=2，
∵EF∥BD，
∴
，
∴
，
∴CE=4，
∴DE
．
故答案为：2
．
（2）如图2中，连接AO、AC，作BE∥AO交x轴于E，DF∥AC交x轴于F，EF的中点为M，则直线AM平分五边形ABCOD的面积，
∵直线AO的解析式为y=
x，
∴直线BE解析式为y=x+2，
∴点E坐标（﹣
，0），
∵直线AC的解析式为y=﹣4x+16，
∴直线DF的解析式为y=﹣4x+18，
∴点F坐标为（
，0）
∴EF的中点M坐标为（，0），
∴直线AM的解析式为：y=x﹣4．
（3）如图3中，连接BD，AC交于点O．在BC上取一点Q，过Q作QM⊥BD，
∵AB=AD=200、BC=CD=200
，
∴AC是BD的垂直平分线，
在Rt△ABD 中，BD=
AB=200，
∴DO=BO=OA=100，
在Rt△BCO 中，OC=
＝300，
∴S四边形ABCD=S△ABD+S△CBD=
BD×（AO+CO）=×200×（100+300）=80000，
∵在一条过点D的直线将筝形ABCD的面积二等分，
∴S四边形ABQD＝S四边形ABCD=40000，
∵S△ABD＝×BD×OA=20000，
∴S△QBD=BD×QM=×200×QM=100QM＝S四边形ABQD﹣S△ABD=20000，
∴QM=100，
∵QM∥CO．
∴
∴
∴BM=
，
∴DM=BD﹣BM=
，
在Rt△MQD 中，
．
