(2013•宜兴市二模)如图.已知正方形OABC的两个顶点坐标分别是A．抛物线y=12x2-mx+12m2的对称轴交x轴于点P.交反比例函数y=kx图象于点Q.连接OQ．(1)求抛物线的顶点坐标,(2)当m=12k=2时.求证:△OPQ为等腰直角三角形,(3)设反比例函数y=kx图象交正方形OABC的边BC.BA于M.N两点.连接AQ.BQ.有S� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

（2013•宜兴市二模）如图，已知正方形OABC的两个顶点坐标分别是A（2，0），B（2，2）．抛物线y=

x²-mx+

m²（m≠0）的对称轴交x轴于点P，交反比例函数y=

（k＞0）图象于点Q，连接OQ．
（1）求抛物线的顶点坐标（用含m的代数式表示）；
（2）当m=

k=2时，求证：△OPQ为等腰直角三角形；
（3）设反比例函数y=

（k＞0）图象交正方形OABC的边BC、BA于M、N两点，连接AQ、BQ，有S_△ABQ=4S_△APQ．
①当M为BC边的中点时，抛物线能经过点B吗？为什么？
②连接OM、ON、MN，试分析△OMN有可能为等边三角形吗？若可能，试求m+2k的值；若不可能，请说明理由．

分析：（1）利用配方法求出顶点坐标即可；
（2）利用m=

k=2得出k的值，进而得出P，Q点坐标，即可得出△OPQ是等腰直角三角形；
（3）①根据S_△ABQ=4S_△APQ得出

AB•AP=4×

AP•PQ，即AB=4PQ，进而得出点Q的纵坐标为

或-

（负值舍去），再求出m的值，将B点代入即可；
②首先判断得出Rt△COM≌Rt△AON，进而得出∠DNO=∠DON=15°，∠DNA=30°，求出N点坐标，得出反比例函数解析式，进而得出m的值．

解答：

解：（1）∵y=

x²-mx+

m²=

（x²-2mx）+

m²=

（x-m）²，
∴顶点为（m，0）；

（2）∵m=

k=2，
∴k=4，
∴y=

x²-2x+2；
y=

，
如图1，抛物线对称轴为x=2，
∴点P（2，0）．∴Q（2，2），
连结OQ，∵OP=PQ=2，
∴△OPQ是等腰直角三角形；

（3）①如图2，
∵正方形OABC，顶点A（2，0），B（2，2），
∴OA=AB=BC=2．
∵M为BC中点，
∴CM=1，M（1，2）．
∴y=

∵S_△ABQ=4S_△APQ
∴

AB•AP=4×

AP•PQ，即AB=4PQ，

∴PQ=

AB=

×2=

，
∴点Q的纵坐标为

或-

（负值舍去），
∴P（4，0），代入y=

x²-mx+

m²
解得：m=4，
∴抛物线解析式为y=

x²-4x+8．
将B（2，2）代入y=

x²-4x+8，成立．
∴当M为BC边的中点时，抛物线能经过点B，
（其它方法可酌情给分）
②有可能
如图3所示，当△OMN为等边三角形时，∠MON=60°，OM=ON，
在Rt△COM和Rt△AON中

MO=ON

CO=OA

，
∴Rt△COM≌Rt△AON，
∴∠COM=∠AON，
又∵∠COA=90°，∴∠COM+∠AON=30°，
∴∠COM=∠AON=15°．
作线段ON的垂直平分线，交x轴于点D，连结DN，
则DO=DN．
∴∠DNO=∠DON=15°，∠DNA=30°．
设N（2，t），则DO=DN=2t，AD=

t．
∴OA=DO+DA=2t+

t=2，
解得：t=4-2

，
∴N（2，4-2

），
∴k=2（4-2

）=8-4

，