Question

如图，已知二次函数y=ax²+bx+c的图象经过三点A（-1，0），B（3，0），C（0，3），它的顶点为M，又正比例函数y=kx的图象于二次函数相交于两点D、E，且P是线段DE的中点．
（1）求该二次函数的解析式，并求函数顶点M的坐标；
（2）已知点E（2，3），且二次函数的函数值大于正比例函数时，试根据函数图象求出符合条件的自变量x的取值范围；
（3）0＜k＜2时，求四边形PCMB的面积s的最小值．
【参考公式：已知两点D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），则线段DE的中点坐标为(

x1+x2

2

，

y1+y2

2

)】

Answer 1

分析：（1）已知二次函数y=ax²+bx+c的图象经过三点A（-1，0），B（3，0），C（0，3），可求二次函数解析式，并确定顶点坐标；
（2）把E（2，3）代入y=kx中得正比例函数解析式，联立正比例函数解析式和抛物线解析式，可得D点坐标，根据图象求出符合条件的x的范围；
（3）求直线与抛物线的交点D，E的坐标，根据中点坐标公式求出P点坐标，利用割补法表示四边形PCMB的面积，然后求最小值．

解答：解：（1）由y=ax²+bx+c，则得

a-b+c=0 9a+3b+c=0 c=3

，
解得

a=-1 b=2 c=3

，
故函数解析式是：y=-x²+2x+3．
由y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4知，
点M（1，4）．

（2）由点E（2，3）在正比例函数y=kx的图象上得，3=2k，得k=

3

2

，
故y=

3

2

x，
由

y= 3 2 x y=-x2+2x+3

，
解得D点坐标为（-

3

2

，-

9

4

），
由图象可知，当二次函数的函数值大于正比例函数时，自变量x的取值范围是-

3

2

＜x＜2．

（3）

y=kx y=-x2+2x+3

，
解得，点D、E坐标为D（

2-k- k2-4k+16

2

，

2-k- k2-4k+16

2

•k）、
E（

2-k+ k2-4k+16

2

，

2-k+ k2-4k+16

2

•k），
则点P坐标为P（

2-k

2

，

2-k

2

•k）由0＜k＜2，知点P在第一象限．
由点B（3，0），C（0，3），M（1，4），
得S_{四边形COBM}=

1×(3+4)

2

+

1

2

×2×4=

15

2

，
则S_{四边形PCMB}=

15

2

-S△OPC-S△OPB=

15

2

-

1

2

×3×

2-k

2

-

1

2

×3×

2-k

2

•k，
整理，配方得S_{四边形PCMB}=

3

4

(k-

1

2

)2+

93

16

．
故当k=

1

2

时，四边形PCMB的面积值最小，最小值是

93

16

．

点评：本题考查了二次函数解析式的求法，学会用两个函数交点横坐标表示两个函数值的大小关系，并对二次函数进行运用．