Question

如图，在正方形ABCD中，点E在对角线AC上，连接BE、DE．
（1）证明：BE=DE；
（2）设△ADE、△CDE的面积分别为S₁、S₂，已知AC=4，|S₁-S₂|=2，求AE的长度．

Answer 1

分析：（1）根据正方形的性质得到∠DAE=BAE=45°，AD=AB，易证得△ADE≌△ABE，由全等三角形的性质即可得到结论；
（2）连DB交AC与O点，根据正方形的性质得到OD=

1

2

AC=2，OD⊥AC；再利用三角形的面积公式得S₁=

1

2

•OD•AE=AE，S₂=

1

2

•OD•EC=EC，而EC=4-AE，则有|AE-4+AE|=2，然后根据绝对值的意义有AE-2=1或AE-2=-1，即可求得AE的值．

解答：解：（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠DAE=∠BAE=45°，AD=AB，
在△ADE和△ABE中

AE=AE ∠DAE=∠BAE AD=AB

，
∴△ADE≌△ABE，
∴BE=DE；

（2）连DB交AC与O点，如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴对角线AC与DB互相垂直平分，
∴OD=

1

2

AC=2，
∴S₁=

1

2

•OD•AE=AE，S₂=

1

2

•OD•EC=EC，
而EC=4-AE，
∴S₂=4-AE，
而|S₁-S₂|=2，即|AE-4+AE|=2，
∴|AE-2|=1，
∴AE-2=1或AE-2=-1，
∴AE=3或1．

点评：本题考查了正方形的性质：正方形四边都相等，四个角都为90°，对角线互相垂直平分，并且平分每一组内角．也考查了绝对值的意义、三角形的面积公式以及全等三角形的判定与性质．