题目内容
x，y为正整数，且两个分数之和
+
也是整数，求证：这两个分数都是整数．
| x2-1 |
| y+1 |
| y2-1 |
| x+1 |
证明：两个数的和为自然数，则这两个数要么都是分数，要么都是整数（在此题中为自然数）；
对于
与
的积有：
×
=（x-1）×（y-1），
由于x与y是自然数，那么 （x-1）×（y-1）也是自然数，
对于两个分数的乘积，可写成：（a+
）×（b+
）=ab+
+
+
，其中a、b、m、n均为整数，
由于
的存在，所以若两个数相乘得到的结果是整数，那么它们中至少有一个是整数，
对于本题而言，由于
×
=（x-1）×（y-1）为整数，
因此他们中至少有一个是整数，
又∵在（i）中知
与
要么同为整数，要么同为分数，
因此可得出结论：
与
都是整数．
对于
| x2-1 |
| y+1 |
| y2-1 |
| x+1 |
| x2-1 |
| y+1 |
| y2-1 |
| x+1 |
由于x与y是自然数，那么 （x-1）×（y-1）也是自然数，
对于两个分数的乘积，可写成：（a+
| 1 |
| m |
| 1 |
| n |
| a |
| n |
| b |
| m |
| 1 |
| mn |
由于
| 1 |
| mn |
对于本题而言，由于
| x2-1 |
| y+1 |
| y2-1 |
| x+1 |
因此他们中至少有一个是整数，
又∵在（i）中知
| x2-1 |
| y+1 |
| y2-1 |
| x+1 |
因此可得出结论：
| x2-1 |
| y+1 |
| y2-1 |
| x+1 |
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