题目内容

如图，等边三角形ABC的边长为4，P是三角形内角任意一点，过点P作三边的垂线PD、PE、PF，垂足分别为D、E、F．则PD+PE+PF=________．

2 $\text{[math]}$
分析：过A作AM垂直于BC，由三角形ABC为等边三角形，根据三线合一得到M为BC中点，在直角三角形ABM中，由AB及BM的长，利用勾股定理求出AM的长，利用底BC与高AM乘积的一半求出等边三角形的面积，又三角形ABC的面积=三角形ABP的面积+三角形CBP的面积+三角形ACP的面积，利用三角形的面积公式分别表示出三个三角形的面积，相加等于求出的三角形ABC的面积，根据等边三角形的三边长相等，等量代换后提取AB，可得出PD+PE+PF的值．
解答：过A作AM⊥BC，连接PA，PB，PC，如图所示：

∵△ABC为等边三角形的边长为4，AM⊥BC，
∴M为BC的中点，即BM=CM= $\text{[math]}$ BC=2，
在直角三角形ABM中，AB=4，BM=2，
根据勾股定理得：AM= $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ ，
∴S_△ABC= $\text{[math]}$ BC•AM=4 $\text{[math]}$ ，
又∵S_△ABC=S_△ABP+S_△BPC+S_△ACP
= $\text{[math]}$ PE•AB+ $\text{[math]}$ PF•AC+ $\text{[math]}$ PD•BC
= $\text{[math]}$ AB（PE+PF+PD），
∴ $\text{[math]}$ ×4（PE+PF+PD）=4 $\text{[math]}$ ，
则PE+PD+PF=2 $\text{[math]}$ ．
故答案为：2 $\text{[math]}$
点评：此题考查了等边三角形的性质，勾股定理，以及三角形的面积公式，其中连接P与三角形ABC的三个顶点，得出S_△ABC=S_△ABP+S_△BPC+S_△ACP是解本题的关键．