Question

如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径的半圆O，与斜边AC交于D，E是BC边上的中点，连结DE．

DE与半圆O相切吗？若相切，请给出证明；若不相切，请说明理由；

若AD、AB的长是方程x²－10x＋24＝0的两个根，求直角边BC的长．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)DE与半圆O相切． 　　证明：连结OD、BD∵AB是半圆O的直径 　　∴∠BDA＝∠BDC＝90°∵在Rt△BDC中，E是BC边上的中点 　　∴DE＝BE∴∠EBD＝∠BDE 　　∵OB＝OD∴∠OBD＝∠ODB 　　又∵∠ABC＝∠OBD＋∠EBD＝90° 　　∴∠ODB＋∠EBD＝90°∴DE与半圆O相切． 　　(2)解：∵在Rt△ABC中，BD⊥AC 　　∴Rt△ABD∽Rt△ABC 　　∴即AB2＝AD·AC∴AC＝ 　　∵AD、AB的长是方程x2－10x＋24＝0的两个根 　　∴解方程x2－10x＋24＝0得：x1＝4x2＝6 　　∵AD＜AB∴AD＝4AB＝6∴AC＝9 　　在Rt△ABC中，AB＝6AC＝9 　　∴