Question

【题目】如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC 分别相切于E，F两点．

（1）证明：EF∥BC；

（2）若AG等于⊙O的半径，且AE=MN=2，求四边形EBCF的面积．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】

试题分析：（1）利用等腰三角形的性质先判断AD是∠CAB的平分线，再根据切线长定理得到AE=AF，接着利用等腰三角形的性质判断AD⊥EF，然后根据平行线的判定可得到结论；

（2）先证明AD是EF的垂直平分线得到O在AD上；连结OE，OM，再根据切线的性质得到OE⊥AE，接着证明△ABC和△AEF都是等边三角形，则根据等边三角形的性质和含30度的直角三角形三边的关系计算出OE、AO，再利用勾股定理计算出OD，然后根据等边三角形的面积公式，利用四边形EBCF的面积=S△ABC-S△AEF进行计算即可．

试题解析：（1）∵△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，

∴AD是∠CAB的平分线，

又∵☉O分别与AB，AC相切于点E，F，

∴AE=AF，

∴AD⊥EF，

∴EF∥BC；

（2）由（1）知，AE=AF，AD⊥EF，

∴AD是EF的垂直平分线，

∴O在AD上；

连结OE，OM，

∵AB为切线，

∴OE⊥AE，

∴AG=OG=OE，

即AO=2OE，

∴∠OAE=30°，

∴∠EAF=60°，

∴△ABC和△AEF都是等边三角形，

∴AE=2，

∴OE=AE=2，AO=2OE=4，

∵OM=OE=2，DM=MN=，

∴OD==1，

∴AD=AO+OD=5，

∴BD=AD=，

∴AB=2BD=，

∴四边形EBCF的面积=S△ABC-S△AEF

=（）2-×（2）2

=．