Question

△ABC的周长为1999cm，一只小松鼠位于AB上的P点，（A B除外），小松鼠首先由点P沿平行于BC的方向，跑到AC边上的点p₁，再由点p₁沿平行于AB的方向跑到BC边上的点p₂，再由点p₂沿平行于AC的方向跑到AB边上的点p₃，再由点p₃沿平行于BC的方向跑到…．此后可按上述规律一直跑下去，问小松鼠能否返回到点P？如果能再回到点P，至少要跑多少路程？

Answer 1

分析：分两种情况讨论，①当点P为AB中点时，②当点P不为AB中点时，然后根据三角形的中位线及平移的知识求出所走线段的长度和即可得出答案．

解答：解：（1）当点P为AB中点时，
P₃与P重合，
此时小松鼠跑的路程为三角形三条中位线的和，
即

1999

2

(cm)；

（2）当点P不为AB中点时，
由小松鼠跑的规律可知：P₁P₂∥AB，P₂P₃∥CA，P₃P₄∥BC，
P₄P₅∥AB，P₅P₆∥CA，
P₆P₇∥BC．∴△P₃P₂B可由△AP₁P通过平移得到，
△P₄CP₅可由△P₃P₂B通过平移得到，
△AP₇P₆可由△P₄CP₅通过平移得到，
所以AP=AP₆，AP₁=AP₇，
即P₆与P重合，P₇与P₁重合．
∴小松鼠经过6次转向就回到了点P
.

PP1+P1P2+P2P3+P3P4+P4P5+P5P =BP2+AP3+AP1+CP2+BP3+CP1 =AB+AC+CA=1999(cm)

点评：本题考查了三角形的中位线定理及平移的性质，有一定安度，关键是熟练掌握基本性质，然后根据题意解答．