Question

如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=7，AD=2，BC=3，试在腰AB上确定点P的位置，使得以P，A，D为顶点的三角形与以P，B，C为顶点的三角形相似．

Answer 1

解：（1）若点A，P，D分别与点B，C，P对应，即△APD∽△BCP，
∴=，
∴=，
∴AP²-7AP+6=0，
∴AP=1或AP=6，
检测：当AP=1时，由BC=3，AD=2，BP=6，
∴=，
又∵∠A=∠B=90°，∴△APD∽△BCP．
当AP=6时，由BC=3，AD=2，BP=1，
又∵∠A=∠B=90°，
∴△APD∽△BCP．

（2）若点A，P，D分别与点B，P，C对应，即△APD∽△BPC．
∴=，∴=，∴AP=．
检验：当AP=时，由BP=，AD=2，BC=3，
∴=，
又∵∠A=∠B=90°，∴△APD∽△BPC．
因此，点P的位置有三处，即在线段AB距离点A的1、、6处．
分析：此题考查了相似三角形的判定与性质，解题时要认真审题，选择适宜的判定方法．解题时要注意一题多解的情况，要注意别漏解．
点评：此题考查了相似三角形的判定和性质；判定为：
①有两个对应角相等的三角形相似；
②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；
③三组对应边的比相等，则两个三角形相似；性质为相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．