Question

（1）如图1，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=45°，∠BAC的平分线与外角∠CBE的平分线相交于点D，则∠D=______度．
（2）如图2，将（1）中的条件“∠BAC=45°”去掉，其他条件不变，求∠D的度数．

Answer 1

解：（1）∵∠CBE是△ABC的外角，
∴∠CBE=∠CAB+∠C，
∴∠C=∠CBE-∠CAB，
∵∠BAC的平分线与外角∠CBE的平分线相交于点D，
∴∠1=∠CAB，∠2=∠CBE，
∵∠2是△ABD的外角，
∴∠2=∠1+∠D，
∴∠D=∠2-∠1=（∠CBE-∠CAB）=∠C=×90°=45°；
故答案为：45；

（2）∵∠CBE是△ABC的外角，
∴∠CBE=∠CAB+∠C，
∴∠C=∠CBE-∠CAB，
∵∠BAC的平分线与外角∠CBE的平分线相交于点D，
∴∠1=∠CAB，∠2=∠CBE，
∵∠2是△ABD的外角，
∴∠2=∠1+∠D，
∴∠D=∠2-∠1=（∠CBE-∠CAB）=∠C=×90°=45°．
分析：（1）由三角形外角的性质，可得∠C=∠CBE-∠CAB，∠D=∠2-∠1，又由∠BAC的平分线与外角∠CBE的平分线相交于点D，根据角平分线的性质，可得∠1=∠CAB，∠2=∠CBE，继而可求得答案；
（2）由三角形外角的性质，可得∠C=∠CBE-∠CAB，∠D=∠2-∠1，又由∠BAC的平分线与外角∠CBE的平分线相交于点D，根据角平分线的性质，可得∠1=∠CAB，∠2=∠CBE，继而可求得答案．
点评：此题考查了三角形外角的性质与角平分线的定义．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与整体思想的应用．