Question

如图，点A在反比例函数（x＞0）的图象上，点B在x轴上，且△OAB为等边三角形（O为坐标原点）．
（1）A点坐标为______；
（2）将△OAB绕其中心（等边三角形外接圆的圆心）旋转60°，得到△O′A′B′．则A，O′两点间的距离等于______．

Answer 1

解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴可设点A的坐标为（a，a），
将点A（a，a）代入反比例函数可得：a=，
解得：a₁=，a₂=-（舍去），
∴点A的坐标为（，3）．
（2）

由（1）可得等边三角形ABC的边长为2，外接圆的半径R=2，
①若顺时针旋转，此时点O位于点O'的位置，
∵旋转角为60°，IO'=IA=R，
∴△AIO'是等边三角形，
∴AO'=R=2；
②若逆时针旋转，此时点O位于O''位置，则此时AO''=2R=4．
综上可得O′、A两点间的距离等于2或4．
故答案为：（，3）、2或4．
分析：（1）根据等边三角形的性质，可设点A的坐标为（a，a），代入反比例函数解析式可得出a的值，继而得出点A的坐标．
（2）分两种情况讨论，①顺时针旋转，②逆时针旋转，依次得出两点的距离即可．
点评：本题考查了反比例函数综合题，涉及了等边三角形的性质、旋转的性质及圆的知识，难点在第二问，结合圆进行求解是关键，注意分类讨论，不要漏解，此题难度较大．