题目内容

如图，Rt△AOC中，∠ACO=90°，∠AOC=30°．将Rt△AOC绕OC中点E按顺时针方向旋转180°后得到Rt△BCO，BO、CO恰好分别在y轴、x轴上．再将Rt△BCO沿y轴对折得到Rt△BDO．取BC中点F，连接DF，交AB于点G，将△BDG沿DF对折得到△KDG．直线DK交AB于点H．
（1）填空：CE：ED=，AB：AC=；
（2）若BH= $数学公式$ ，求直线BD解析式；
（3）在（2）的条件下，一抛物线过点D、点E、点B，此抛物线位于直线BD上方有一动点Q，△BDQ的面积有无最大值？若有，请求出点Q的坐标；若无，请说明理由．

解：（1）在直角△AOC中，设AC=a，则OA=2a，OC= $\text{[math]}$ a，
∵E是OC的中点，
∴OE=CE= $\text{[math]}$ OC，
又∵OD=OC
∴ED=3OE，
则CE：ED=3：1；
作AM⊥y轴，则AM=OC= $\text{[math]}$ a，OM=AC=a，
∴BM=OB+OM=2a，
在直角△ABM中，AB= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ a，
则AB：AC= $\text{[math]}$ ：1；

（2）连接EF，
∵F是BC的中点，E是OC的中点，
∴EF= $\text{[math]}$ OB= $\text{[math]}$ AC= $\text{[math]}$ a，ED= $\text{[math]}$ a，∠FEO=90°
在直角△EFD中，DF= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ a，
∴DF=AB，
又∵AC=BF，BC=BD
∴△ABC≌△FDB，
∴∠ABC=∠FDB，
又∵∠FBD=∠GFB
∴△BDF∽△GBF
∵∠GDH=∠FDB=∠CBA，
∠FGB=∠HGD
∴△GBF∽△GDH
设OB=2x，则BH= $\text{[math]}$ x
∴x= $\text{[math]}$
∴BO=2 $\text{[math]}$ ，DO=6，
∴y=- $\text{[math]}$ x+2 $\text{[math]}$

（3）OE= $\text{[math]}$ DO=3，则E的坐标是（-3，0），D的坐标是（6，0），B的坐标是（0，2 $\text{[math]}$ ），
设抛物线的解析式是：y=ax²+bx+c，
则 $\text{[math]}$ ，
解得： $\text{[math]}$
则抛物线解析式：y=- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x+2 $\text{[math]}$
设△BDQ的面积为S，则S=- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x
当x=3时，S取最大值，Q（3，2 $\text{[math]}$ ）．
分析：（1）根据E是OC的中点，OD=OC即可求得CE：ED的值；在直角△AOC中，设AC=a，则OA=2a，OC= $\text{[math]}$ a，作AM⊥y轴，则在直角△ABM中，利用三角函数即可利用a表示得到AB的长，从而求得AB：AC的值；
（2）易证△BDF∽△GBF∽△GDH，根据相似三角形的对应边的比相等，即可求得OD，OB的长度，即B、D的坐标，利用待定系数法即可求得函数的解析式；
（3）首先利用待定系数法求得抛物线的解析式，△BDQ的面积S可以表示成x的函数，然后根据函数的性质即可求得最值．
点评：本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，以及全等三角形的判定与性质，二次函数的最值，是一个综合性较强的题目．