Question

【题目】（1）如图①，OP是∠MON的平分线，点A为OP上一点，请你作一个∠BAC，B、C分别在OM、ON上，且使AO平分∠BAC（保留作图痕迹）；

（2）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B＝60°，△ABC的平分线AD，CE相交于点F，请你判断FE与FD之间的数量关系（可类比（1）中的方法）；

（3）如图③，在△ABC中，如果∠ACB≠90°，而（2）中的其他条件不变，请问（2）中所得的结论是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）FE＝FD，证明详见解析；（3）成立，证明详见解析．

【解析】

（1）在射线OM，ON上分别截取OB＝OC，连接AB，AC，则AO平分∠BAC；

（2）过点F作FG⊥AB于G，作FH⊥BC于H，作FK⊥AC于K，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得FG＝FH＝FK，根据四边形的内角和定理求出∠GFH＝120°，再根据三角形的内角和定理求出∠AFC＝120°，根据对顶角相等求出∠EFD＝120°，然后求出∠EFG＝∠DFH，再利用“角角边”证明△EFG和△DFH全等，根据全等三角形对应边相等可得FE＝FD；

（3）过点F分别作FG⊥AB于点G，FH⊥BC于点H，首先证明∠GEF＝∠HDF，再证明△EGF≌△DHF可得FE＝FD．

解：（1）如图①所示，∠BAC即为所求；

（2）如图②，过点F作FG⊥AB于G，作FH⊥BC于H，作FK⊥AC于K，

∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，

∴FG＝FH＝FK，

在四边形BGFH中，∠GFH＝360°﹣60°﹣90°×2＝120°，

∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，∠B＝60°，

∴∠FAC+∠FCA＝（180°﹣60°）＝60°，

在△AFC中，∠AFC＝180°﹣（∠FAC+∠FCA）＝180°﹣60°＝120°，

∴∠EFD＝∠AFC＝120°，

∴∠EFD＝∠GFH

∴∠EFG＝∠DFH，

在△EFG和△DFH中，

，

∴△EFG≌△DFH（ASA），

∴FE＝FD；

（3）成立，

理由：如图c，过点F分别作FG⊥AB于点G，FH⊥BC于点H．

∴∠FGE＝∠FHD＝90°，

∵∠B＝60°，且AD，CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线，

∴∠FAC+∠FCA＝60°，F是△ABC的内心，

∴∠GEF＝∠BAC+∠FCA＝60°+∠BAD，

∵F是△ABC的内心，即F在∠ABC的角平分线上，

∴FG＝FH（角平分线上的点到角的两边相等）．

又∵∠HDF＝∠B+∠BAD＝60°+∠BAD（外角的性质），

∴∠GEF＝∠HDF．

在△EGF与△DHF中，

，

∴△EGF≌△DHF（AAS），

∴FE＝FD．