Question

电焊工想利用一块边长为a的正方形钢板ABCD做成一个扇形，于是设计了以下三种方案：
方案一：如图1，直接从钢板上割下扇形ABC．
方案二：如图2，先在钢板上沿对角线割下两个扇形，再焊接成一个大扇形（如图3）．
方案三：如图4，先把钢板分成两个相同的小矩形，并在每个小矩形里割下两个小扇形，然后将四个小扇形按与图3类似的方法焊接成一个大扇形．

（1）容易得出图1、图3中所得扇形的圆心角均为90°，那么按方案三所焊接成的大扇形的圆心角也为90°吗？为什么？
（2）容易得出图1中扇形与图3中所得大扇形的面积相等，那么按方案三所焊成的大扇形的面积也与方案二所焊接成的大扇形的面积相等吗？若不相等，面积是增大还是减小？为什么？
（3）若将正方形钢板按类似图4的方式割成n个相同的小矩形，并在每个小矩形里割下两个小扇形，然后将这2n个小扇形按类似方案三的方式焊接成一个大扇形，则当n逐渐增大时，所焊接成的大扇形的面积如何变化？

Answer 1

（1）解：大于90°，
理由是：
取AB的中点M，取GH的中点N，连接MN，GM，
则四边形AMNG是正方形，
∠AMG=45°，
即∠MBG+∠MGB=45°，
∵GM＞AM．AM=BM，
∴∠MBG＞∠MGB，
∴∠MBG＞22.5°，
∴4∠MBG＞4×22.5，
即组成的扇形的圆心角大于90°．

（2）解：面积增大了，
理由是：∵扇形的面积是，而是一个常数，
n大于90°，
∴按方案三所焊成的大扇形的面积大于按方案二所焊接成的大扇形的面积．

（3）解：∵n越大，所焊接的扇形的圆心角越大，
又∵不变，
∴扇形的面积也越来越大，
即当n逐渐增大时，所焊接成的大扇形的面积也逐渐增大．
分析：（1）取AB的中点M，取GH的中点N，连接MN，GM，得出正方形AMNG，求出∠MBG+∠MGB=45°，根据大边对大角得出∠MBG＞22.5°，求出圆心角大于90°；
（2）根据扇形的面积公式，中不变，n越来越大，得出扇形面积越来越大，即可得出答案；
（3）根据n越来越大得出圆心角越来越大，根据扇形面积公式即可得出答案．
点评：本题考查了正方形的性质和判定，等腰三角形性质，扇形的面积计算等知识点，主要考查学生的分析问题和解决问题的能力，题目比较典型，但是有一定的难度．