Question

如图等边三角形ABC中，AB=3，D、E是BC上的两点，AD、AE把△ABC分割成周长相等的三个三角形，则CD=

-3+3 33

16

．

Answer 1

分析：过点A作AF⊥BC于F，根据等边三角形的性质求出AF、CF，设CD=x，表示出DF，然后利用勾股定理列式求出AD，再判断出EF=DF，AE=AD，然后根据△ACD和△ADE的周长相等列出方程，整理后解关于x的一元二次方程即可得解．

解答：解：如图，过点A作AF⊥BC于F，
∵AB=3，
∴AF=3×

3

2

=

3 3

2

，CF=

1

2

×3=

3

2

，
设CD=x，则DF=

3

2

-x，
在Rt△ADF中，AD=

DF2+AF2

=

( 3 2 -x)2+( 3 3 2 )2

=

x2-3x+9

，
∵△ABC分割成的三个三角形周长相等，
∴EF=DF，AE=AD，
∴AC+AD+CD=AD+DE+AE，
即3+

x2-3x+9

+x=

x2-3x+9

+2（

3

2

-x）+

x2-3x+9

，
∴

x2-3x+9

=3x，
整理得，8x²+3x-9=0，
解得x₁=

-3+3 33

16

，x₂=

-3-3 33

16

（舍去），
所以，CD的长是

-3+3 33

16

．
故答案为：

-3+3 33

16

．

点评：本题考查了等边三角形的性质，勾股定理的应用，作辅助线构造出直角三角形并根据等边三角形的对称性和三角形的周长相等列出方程是解题的关键．