Question

如图，在平面直角坐标系中，已知△AOB是等腰三角形，OB=AB，∠OBA=120°，点B的坐标是（0，4），点A在第一象限．点R是x轴上的一个动点，连接BR，并把△BOR绕着点B按逆时针方向旋转，使边BO与BA重合，得到△BAQ．
（1）求点A的坐标；
（2）当点R运动到点（

2 3

3

，0）时，求此时点Q的坐标；
（3）当点Q落在x轴上时，请直接写出点R的坐标；
（4）是否存在点R，使△ORQ的面积等于

3

2

？若存在，请求出所有符合条件的点R的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）过A点作x轴、y轴的垂线AE、AF，解直角三角形求AE、AF即可．
（2）过点Q作AE的垂线交EA的延长线于点H，交y轴于点N．依题意得∠BAE=60°，∠QAH=30°．解Rt△AHQ得AH、QH，再利用A点的坐标求QN，HE，即为Q点的横、纵坐标；
（3）此时点R在x轴的负半轴，∠OBQ=60°，则∠RBO=60°，已知OB=4，解Rt△OBR可求OR，再表示R点的坐标；
（4）设点R的坐标为（t，0），根据t＞0，-4

3

≤t≤0，t＜-4

3

，分别求解．

解答：解：（1）如图1，过点A作AE⊥x轴于点E，作AF⊥y轴于点F，

则AF=AB•sin∠ABF=2

3

，
BF=AB•cos∠ABF=2，
∴AE=OF=4+2=6，
∴点A的坐标为（2

3

，6）．

（2）如图2，

∵△BAQ由△BOR旋转得到，∴△BAQ≌△BOR．
∴AQ=OR=

2

3

3

，∠BAQ=∠BOR=90°．
过点Q作AE的垂线交EA的延长线于点H，交y轴于点N，
则∠BAE=60°，∠QAH=30°．
在Rt△AHQ中，AH=AQ•cos30°=1，QH=AQ•sin30°=

3

3

．
∴QN=2

3

-

3

3

=

5

3

3

，HE=6+1=7．
∴点Q的坐标为（

5

3

3

，7）．
（3）此时点R在x轴的负半轴，
∠OBQ=60°，则∠RBO=60°，
已知OB=4，
在Rt△OBR中：OR=4

3

，
∴点R（-4

3

，0）．
（4）假设存在点R，在它的运动过程中，使△ORQ的面积等于

3

2

．设点R的坐标为（t，0），下面分三种情况讨论．
①当t＞0时，如图3，

AQ=OR=t，AH=

3

2

t，HE=

3

2

t+6，

∴

1

2

t(

3

2

t+6)=

3

2

解得t1=

14

-2

3

，t2=-

14

-2

3

（舍去）．

②当-4

3

＜t≤0时，如图4，

AQ=OR=-t，AH=-

3

2

t，HE=6-(-

3

2

t)=6+

3

2

t．
∴-

1

2

t(6+

3

2

t)=

3

2

解得t1=

10

-2

3

，t2=-

10

-2

3

．
③当t＜-4

3

时，如图5，

AQ=OR=-t，AH=-

3

2

t，HE=-

3

2

t-6．
∴-

1

2

t(-

3

2

t-6)=

3

2

解得t1=

14

-2

3

（舍去），t2=-

14

-2

3

．
∴符合条件的点R的坐标为（

14

-2

3

，0）或（

10

-2

3

，0）或（-

10

-2

3

，0）或（-

14

-2

3

，0）．

点评：本题考查了坐标系中点的坐标的求解方法，综合运用了解直角三角形的知识．