题目内容

某公司经营甲、乙两种商品，每件甲种商品进价12万元，售价14.5万元；每件乙种商品进价8万元，售价10万元，且它们的进价和售价始终不变．现准备购进甲、乙两种商品共20件，所用资金不低于190万元，不高于200万元．
（1）该公司有哪几种进货方案？
（2）该公司采用哪种进货方案可获得最大利润？最大利润是多少？
（3）若用（2）中所求得的利润再次进货，请直接写出获得最大利润的进货方案．

解：（1）设购进甲种商品x件，乙种商品（20-x）件，根据题意得
190≤12x+8（20-x）≤200
解得7.5≤x≤10
∵x为非负整数
∴x取8，9，10
有三种进货方案：
①购甲种商品8件，乙种商品12件；
②购甲种商品9件，乙种商品11件；
③购甲种商品10件，乙种商品10件．

（2）设利润为w元，
则w=x×（14.5-12）+（20-x）×（10-8）=0.5x+40
∴购甲种商品10件，乙种商品10件时，可获得最大利润，最大利润是45万元．

（3）①全进甲，能购买3件，利润为（14.5-12）×3=7.5万元；
②全进乙，能购买5件，利润为（10-8）×5=10万元；
③甲进1件，同时乙进4件，利润为（14.5-12）×1+（10-8）×4=10.5万；
④甲进2件，同时乙进2件，利润为2.5×2+2×2=9万元；
⑤甲进3件，同时乙进1件，利润为2.5×3+2×1=9.5万元；
所以购甲种商品1件，乙种商品4件时，可获得最大利润为10.5万元．
分析：（1）关系式为：190≤甲种商品总进价+乙种商品总进价≤200，根据此不等关系列不等式组求解即可；
（2）利润=甲种商品数量×（14.5-12）+乙种商品数量×（10-8），整理后按（1）中自变量的取值算出最大利润；
（3）用最大利润45万元来进货，用最大利润进货，没有总件数限制，但要考虑尽量把钱用完．分以下五种情况讨论，通过计算比较即可．①全进甲，能购买3件；②全进乙，能购买5件；③甲进1件，同时乙进4件；④甲进2件，同时乙进2件；⑤甲进3件，同时乙进1件．
点评：解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式，及所求量的等量关系．要会用分类的思想来讨论问题并能用不等式的特殊值来求得方案的问题．