Question

在△ABC中，AB=AC，点D是BC上一点（不与B，C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．

（1）如图1，若∠BAC=90°，

①求证；△ABD≌△ACE；

②求∠BCE的度数．

（2）设∠BAC=α，∠BCE=β．如图2，则α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．

Answer 1

考点： 全等三角形的判定与性质． 

分析： （1）①根据已知条件和全等三角形的判定定理，得出△ABD≌△ACE即可；

②问要求∠BCE的度数，可将它转化成与已知角有关的联系，根据已知条件和全等三角形的判定定理，得出△ABD≌△ACE，再根据全等三角形中对应角相等，最后根据直角三角形的性质可得出结论；

（2）问在第（1）问的基础上，将α+β转化成三角形的内角和．

解答： 解：（1）①∵∠BAC=∠DAE，

∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC．即∠BAD=∠CAE．

在△ABD与△ACE中，

，

∴△ABD≌△ACE（SAS）；

②∵∠BAC=∠DAE，

∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC．即∠BAD=∠CAE．

在△ABD与△ACE中，

，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴∠B=∠ACE．

∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB，

∴∠BCE=∠B+∠ACB，

又∵∠BAC=90°

∴∠BCE=90°；

（2）α+β=180°，

理由：∵∠BAC=∠DAE，

∴∠BAD+∠DAC=∠EAC+∠DAC．

即∠BAD=∠CAE．

在△ABD与△ACE中，

，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴∠B=∠ACE．

∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB．

∴∠B+∠ACB=β，

∵α+∠B+∠ACB=180°，

∴α+β=180°