Question

如图：△AOB是直角边长为4的等腰三角形，C在OA上且OC=3，P是线段AB上的动点．当OP+CP最小时，（1）求出OP+CP的最小值．（2）求此时P点坐标．

Answer 1

分析：（1）先作C点关于AB的对称点C′，连接OC′、AC′，由两点之间线段最短可知OC′即为OP+CP的最小值，由对称的性质可知△AOC′是直角三角形，利用勾股定理即可求解；
（2）由OC′的长可求出C′点的坐标，根据△AOB是直角边长为4的等腰三角形可求出A、B两点的坐标，再用待定系数法分别求出过A、B及过O、C两点的一次函数解析式，求出其交点坐标即可．

解答：解：（1）作C点关于AB的对称点C′，连接OC′、AC′，由两点之间线段最短可知OC′即为OP+CP的最小值，
∵C′是C关于AB的对称点，
∴AC=AC′=1，∠CAB=∠C′AB=45°，
∴∠CAC′=90°，
∵OA=4，AC′=1，
∴OC′=

OA2+AC′2

=

42+12

=

17

；

（2）∵OC′=

17

，OA=4，AC′=1，
∴C′点的坐标为：（4，1），
∴设过O、C′两点的函数解析式为y=kx（k≠0），即k=

1

4

，
∴此一次函数的解析式为y=

1

4

x；
∵△AOB是直角边长为4的等腰三角形，
∴A（0，4）、B（4，0），
设过A、B两点的一次函数的解析式为y=kx+b（k≠0），
∴

4=b 0=4k+b

，解得k=-1，b=4，
∴此一次函数的解析式为y=-x+4，
∴

y=4x y=-x+4

，解得x=

16

5

，y=

4

5

，
∴P点坐标为（

16

5

，

4

5

）．
故答案为：

17

，（

16

5

，

4

5

）．

点评：本题考查的是最短线路问题及用待定系数法求一次函数的解析式，根据题意作出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．