Question

已知：在矩形AOBC中，OB=4，OA=3，分别以OB，OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，F是边BC上的一个动点（不与B，C重合），过F点的反比例函数（k＞0）的图象与AC边交于点E。

（1）求证：△AOE与△BOF的面积相等；
（2）记S=S_△OEF-S_△ECF，求当k为何值时，S有最大值，最大值为多少？
（3）请探索：是否存在这样的点F，使得将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）设：，
与的面积分别为，
由题意得，
∴
∴
即与的面积相等。
（2）由题意知：E，F两点坐标分别为，
∴
∴
∴
∴
当时，S有最大值
。
（3）设存在这样的点F，将沿对折后，C点恰好落在OB边上的M点，
过点E作，垂足为N
由题意得：，

∵
∴
又∵
∴
∴
∴
∴
∴
解得
∴
∴存在符合条件的点F，它的坐标为。