Question

现有一张矩形纸片ABCD（如图），其中AB=4cm，BC=6cm，点E是BC的中点．将纸片沿直线AE折叠，点B落在四边形AECD内，记为点B′,过E作EF垂直B′C，交B′C于F.

（1）求AE、EF的位置关系

（2）求线段B′C的长，并求△B′EC的面积

Answer 1

  解：（1）由折线法及点E是BC的中点，

∴EB=EB′=EC，∠AEB=∠AEB′①

∴△B'EC是等腰三角形…………………………1分

又∵EF⊥B′C∴EF为∠B'EC的角平分线，即∠B′EF=∠FEC②

由①②得，∠AEF=90°，即AE⊥EF……………………2分

    （2）由上题可知：∠AB′E=∠AEF=90°，

∠B′AE=∠B′EF(同角的余角相等)，……………………1分

又∵△B'EC是等腰三角形，EF⊥B′C

∴ B′F=FC

∴△B′AE∽△FB′E                   ………………2分

又∵BE=3，AB=4，∠B=90°，∴AE=5

∴AE:EB′= EB′: B′F

∴B′F=……………………………2分

        由题意可知四边形OEFB′是矩形，
        ∴EF=OB′=∴S△B′EC=×B′C•EF=××=…………2分