题目内容
【题目】如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示．下列结论：①方程=ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3：②a﹣b+c=0；③8a+c＜0；④当y＞0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3；⑤当y随x的增大而增大时，一定有x＜O．其中结论正确的个数是（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】D
【解析】
利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），则可对①进行判断；由对称轴方程得到b=-2a，然后根据x=-1时函数值为0可得到3a+c=0，则可对③进行判断；根据二次函数的性质对④进行判断．
∵抛物线的对称轴为直线x=1，
而点（-1，0）关于直线x=1的对称点的坐标为（3，0），
∴方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=-1，x2=3，所以①正确；
当x=-1时，y=0，即a-b+c=0；故②正确，
∵x=-
=1，即b=-2a，
而x=-1时，y=0，即a-b+c=0，
∴a+2a+c=0，
∴3a+c=0，
∵抛物线的开口向下，
∴a＜0，
∴5a＜0，
∴8a+c＜0；故③正确；
当y＞0时，函数图象在x轴的上面，
∴x的取值范围是-1＜x＜3；故④正确；
⑤当x＜1时，y随x增大而增大，当y随x的增大而增大时，一定有x＜0，
∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴当x＜1时，y随x增大而增大，当y随x的增大而增大时，一定有x＜0，
所以⑤错误．
故选：D．
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