题目内容

如图，过反比例函数 $数学公式$ 图象上的一点A作x轴的垂线段AB，再连接AO，构成直角三角形ABO，S_△ABO=3，请你求出该反比例函数的关系式，并说出它的两条性质．

解：根据题意可知：S_△AOB= $\text{[math]}$ |k|=3，
又反比例函数的图象位于第二象限，k＜0，
则k=-6，
即反比例函数的解析式为y=- $\text{[math]}$ ，
性质：①双曲线的两支分别位于第二、第四象限；②在每一象限内y随x的增大而增大．
分析：根据反比例函数系数k的几何意义：过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S= $\text{[math]}$ |k|，及图象位于第二象限求出k的值，得到反比例函数的解析式，再根据反比例函数的性质作答即可．
点评：本题主要考查了反比例函数y= $\text{[math]}$ 中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得三角形面积为 $\text{[math]}$ |k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义，同时考查了反比例函数的图象性质：反比例函数的图象是双曲线；当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．

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如图，过反比例函数y=

（x＞0）的图象上任意两点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连接OA、OB，设△AOC和△BOD的面积分别是S₁、S₂，比较它们的大小，可得（　　）

A、S₁＞S₂

B、S₁=S₂

C、S₁＜S₂

D、大小关系不能确定

（1）探究新知：如图1，已知△ABC与△ABD的面积相等，试判断AB与CD的位置关系，并说明理由．
（2）结论应用：如图2，点M，N在反比例函数y=

（k＞0）的图象上，过点M作ME⊥y轴，过点N作NF⊥x轴，垂足分别为E，F．试证明：MN∥EF．
（3）变式探究：如图3，点M，N在反比例函数y=

（k＞0）的图象上，过点M作ME⊥y轴，过点N作NF⊥x轴，过点M作MG⊥x轴，过点N作NH⊥y轴，垂足分别为E、F、G、H．试证明：EF∥GH．

如图10，已知直线（）交x轴、y轴于A、B两点，点C、M分别在线段OA、AB上，且OC＝2CA，AM＝2MB，连接MC，将△ACM绕点M旋转180°，得到△FEM，显然点E在y轴上，点F在直线l上；取线段EO中点N，将△ACM沿MN所在直线翻折，得到△PMG，其中P与A为对称点．记：过点F的反比例函数图象为，过点M且以B为顶点的二次函数图象为，过点P且以M为顶点的二次函数图象为．