Question

【题目】如图，已知直线交轴于点，点为轴上的一个动点（点不与点重合），在直线上取一点（点在轴上方），使，连结，以为边在的右侧作正方形，连结，以为直径作．

（1）当点在点左侧时，若点落在轴上，则的长为______，点的坐标为_______；

（2）若与正方形的边相切于点，求点的坐标；

（3）与直线的交点为，连结，当平分时，的长为______．（直接写出答案）

Answer 1

【答案】（1）2，；（2）点的坐标为或或；（3）．

【解析】

（1）先求出直线交轴于点，交轴于点，进而求出，得到，过点D作DM⊥x轴，得OBADAM，进而即可求解；

（2）分3种情况：①如图1，当与相切于点时，，点与点重合，②如图2，当与直线相切于点，点在点右侧时，则，③如图3，，当与直线相切于点，点在点左侧时，则，分别求解，即可；

（3）如图4，作于点，连结．设，可得，，，再求出，由条件可知：，，三点共线，列出关于m的比例式，求出m的值，进而即可求解．

（1）直线交轴于点，交轴于点，

，

，，．

，

，

∵点在点左侧，

，

如图1，过点D作DM⊥x轴，

∵∠OBA+∠OAB=∠OAB+∠DAM=90°，

∴∠OBA=∠DAM，

又∵AB=DA，∠AOB=∠DMA=90°，

∴OBADAM（AAS），

∴DM=OA=4，OB=AM=8，

∴OM=8+4=12，

；

（2）①如图2，当与相切于点时，，

又∵∠ABC=90°，点为轴上的一个动点，

∴点与点重合，

∴，

设与x轴的交点为点N，连接BN，则∠BNO=90°，设直线l与y轴交于点K，则OK=8，

∵BN∥OK，

∴，即：，

∴BN=24，NE=18，

∴ON=18-6=12，

∴；．

②如图3，当与直线相切于点，点在点右侧时，则，

设与x轴交于点H，连接BH，则∠OHB=90°，

设，则，

∵sin∠BEH=，

，，

，

．

，

，即点在直线上，

联立，解得：

∴点；

③如图4，当与直线相切于点，点在点左侧时，则，

设与x轴交于点F，连接BF，则∠OFB=90°，

设，则，

∵sin∠BEF=，

∴，，

∴．

，

∴∠ABF+∠OBF=∠BOF+∠OBF=90°，

∴∠ABF=∠BOF，

∵∠AFB=∠BFO=90°，

∴，

∴，

，解得：（舍去），

∴点．

综上所述，点的坐标为或或；

（3）如图5，作于点，连结．

设，则，

由第（2）题，可知，，，

，，

过点C作CT⊥GB，交GB的延长线于点T，

∵∠CBT+∠ABG=∠ABG+∠BAG=90°，

∴∠CBT=∠BAG，

又∵∠CTB=∠BGA=90°，CB=BA，

∴CTBBGA（AAS），

∴CT=BG=4m，BT=AG=2m，

∴TG=6m，点C的横坐标=CT-OG=4m-(3m-6)=m+6，

∴，

∵OB是的直径，

∴直线，且过原点，

直线的解析式为：，

联立，解得：，

．

平分，

，，三点共线，

，解得：，

，

．

故答案是：．

图1 图2

图3 图4

图5