Question

如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8．把△BCD沿对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点G；E、F分别是C′D和BD上的点，线段EF交AD于点H，把△FDE沿EF折叠，使点D落在D′处，点D′恰好与点A重合。
（1）求证：△ABG≌△C′DG；
（2）求tan∠ABG的值；
（3）求EF的长。

Answer 1

解：（1）∵△BDC′由△BDC翻折而成，
∴∠C=∠BAG=90°，C′D=AB=CD，∠AGB=∠DGC′，
∴∠ABG=∠ADE，
在△ABG和△C′DG中，
∵，
∴△ABG≌△C′DG；
（2）∵由（1）可知△ABG≌△C′DG，
∴GD=GB，
∴AG+GB=AD，
设AG=x，则GB=8﹣x，
在Rt△ABG中，
∵AB²+AG²=BG²，即6²+x²=（8﹣x）²，
解得x=，
∴tan∠ABG===；
（3）∵△AEF是△DEF翻折而成，
∴EF垂直平分AD，
∴HD=AD=4，
∴tan∠ABG=tan∠ADE=，
∴EH=HD×=4×=，
∵EF垂直平分AD，AB⊥AD，
∴HF是△ABD的中位线，
∴HF=AB=×6=3，
∴EF=EH+HF=+3=。