题目内容

如图：已知抛物线y=
1
4
x2+
3
2
x-4与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，O为坐标原点．
（1）求A，B，C三点的坐标；
（2）已知矩形DEFG的一条边DE在AB上，顶点F，G分别在线段BC，AC上，设OD=m，矩形DEFG的面积为S，求S与m的函数关系式，并指出m的取值范围；
（3）当矩形DEFG的面积S取最大值时，连接对角线DF并延长至点M，使FM=
2
5
DF．试探究此时点M是否在抛物线上，请说明理由．精英家教网
分析：（1）让二次函数解析式的y=0，求得A，B的横坐标，让x=0，求得C的纵坐标．
（2）根据DG∥AC，可得△ADG∽△AOC，利用相似比可求得用m表示的DG长；同理可得△CFG∽△CBA，利用相似比可求得用m表示的FG长．那么矩形的面积=DG×FG
（3）利用（2）所给的二次函数解析式求得相应的m的取值时的最值．作MN⊥AB，垂足为N，则有MN∥FE，利用相似可求得有关点M的横纵坐标的相关线段长．把横坐标代入二次函数解析式，看是否等于纵坐标即可．
解答：解：（1）A（2，0），B（-8，0），C（0，-4）．（3分）

（2）由△ADG∽△AOC，可得
AD
AO
=
DG
OC
，
∴DG=2（2-m），（4分）
同理可得△CFG∽△CBA，
∴DE=5m，（5分）
∴S=DG×DE=2（2-m）•5m=20m-10m2
∴S与m的函数关系式为S=-10m2+20m，且0＜m＜2．（6分）

（3）由S=-10m2+20m可知m=1时，S有最大值10，此时D（1，0），DE=5，EF=2．（7分）精英家教网
过点M作MN⊥AB，垂足为N，则有MN∥FE，
∴
DE
DN
=
EF
MN
=
DF
DM
，
又有
DF
DM
=
5
7
，
得DN=7，MN=
14
5

∴N（-6，0），M(-6，-
14
5
)，（8分）
在二次函数y=
1
4
x2+
3
2
x-4中，当x=-6时，y=-4≠-
14
5
，
∴点M不在抛物线上．（9分）
点评：与x轴的交点的纵坐标为0，与y轴的交点的横坐标为0．主要运用了相似三角形的对应边成比例的性质得到所求．
练习册系列答案
相关题目
如图，已知抛物线与x轴交于A（-1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点精英家教网C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求直线BC的函数解析式；
（3）在抛物线上，是否存在一点P，使△PAB的面积等于△ABC的面积，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
（4）点Q是直线BC上的一个动点，若△QOB为等腰三角形，请写出此时点Q的坐标．（可直接写出结果）
如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x=1，且抛物线经过A（-1，0）精英家教网、C（0，-3）两点，与x轴交于另一点B．
（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；
（2）在抛物线的对称轴x=1上求一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，并求出此时点M的坐标．
（2013•衡阳）如图，已知抛物线经过A（1，0），B（0，3）两点，对称轴是x=-1．
（1）求抛物线对应的函数关系式；
（2）动点Q从点O出发，以每秒1个单位长度的速度在线段OA上运动，同时动点M从O点出发以每秒3个单位长度的速度在线段OB上运动，过点Q作x轴的垂线交线段AB于点N，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒．
①当t为何值时，四边形OMPQ为矩形；
②△AON能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，且抛物线经过A（-1，0）、C（0，-3）两点，与x轴交于另一点B．
（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；
（2）点P是抛物线对称轴上一点，若△PAB∽△OBC，求点P的坐标．
如图，已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点是（-1，-4），且与x轴交于A、B（1，0）两点，交y轴于点C；
（1）求此抛物线的解析式；
（2）①当x的取值范围满足条件
-2＜x＜0
-2＜x＜0
时，y＜-3；
     ②若D（m，y1），E（2，y2）是抛物线上两点，且y1＞y2，求实数m的取值范围；
（3）直线x=t平行于y轴，分别交线段AC于点M、交抛物线于点N，求线段MN的长度的最大值；
（4）若以抛物线上的点P为圆心作圆与x轴相切时，正好也与y轴相切，求点P的坐标．

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