Question

梯形ABCD的面积为12，AB∥CD，AB=2CD，E为AC的中点，BE的延长线与AD交于F，则四边形CDFE的面积是

1. A.
   3
2. B.
   2
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

C
分析：首先延长BF与CD的延长线交于K，由梯形ABCD的面积为12，AB∥CD，AB=2CD，E为AC的中点，根据等高三角形的面积比等于对应底的比，即可求得△ABC与△ABE的面积，证得△ABE∽△CKE，△DFK∽△AFB，根据相似三角形的对应边成比例，证得EF：BE=1：3，则可求得△AEF的面积，然后由S_{四边形CDFE}=S_梯形ABCD-S_△ABC-S_△AEF，求得四边形CDFE的面积．
解答：延长BF与CD的延长线交于K，
∵AB∥CD，
∴△ADC与△ABC等高，
∴S_△ADC：S_△ABC=CD：AB，
∵AB=2CD，
∴S_△ADC：S_△ABC=1：2，
∵梯形ABCD的面积为12，
∴S_△ABC=×12=8，
∵△ABE与△CBE等高，E为AC的中点，
∴S_△ABE=S_△CBE=S_△ABC=4，
∵AB∥CD，
∴△ABE∽△CKE，
∴，
∴CK=AB=2CD，EK=BE，
∴DK=CD，
∵△DFK∽△AFB，
∴KF：BF=DK：AB=1：2，
设EF=x，
∵BE=EK，BF=2KF，
即BE+x=2（BE-x），
∴BE=3x，FK=2x，
∴EF：BE=1：3，
∴S_△AEF=S_△ABE=，
∴S_{四边形CDFE}=S_梯形ABCD-S_△ABC-S_△AEF=12-8-=．
故选C．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质以及面积与等积变换问题．此题难度较大，解题的关键是准确作出辅助线，利用数形结合思想求解，注意相似三角形面积的比等于相似比的平方，等高三角形的面积比等于对应底的比．