题目内容

平行四边形ABCD中，AB=2cm，BC=12cm，∠B=45°，点P在边BC上，由点B向点C运动，速度为每秒2cm，点Q在边AD上，由点D向点A运动，速度为每秒1cm，连接PQ，设运动时间为t秒．
（1）当t为何值时，四边形ABPQ为平行四边形；
（2）设四边形ABPQ的面积为ycm²，请用含有t的代数式表示y的值；
（3）当P运动至何处时，四边形ABPQ的面积是?ABCD面积的四分之三？

解：（1）由已知可得：BP=2t，DQ=t，
∴AQ=12-t．
∵四边形ABPQ为平行四边形，
∴12-t=2t，
∴t=4，
∴t=4秒时，四边形ABPQ为平行四边形；

（2）过A作AE⊥BC于E，在Rt△ABE中，∠AEB=90°，
∵AB=2，∠B=45°
∴AE= $\text{[math]}$ AB= $\text{[math]}$
∴SABPQ= $\text{[math]}$ （BP+AQ）×AE= $\text{[math]}$ （12+t），
即y= $\text{[math]}$ （12+t）；

（3）有（2）得S?ABCD=12 $\text{[math]}$ ，
∵ $\text{[math]}$ ×12 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （12+t），
∴t=6，
∴BP=2t=12=BC，
∴当P与C重合时，四边形ABPQ的面积是?ABCD面积的四分之三．
分析：（1）因为在平行四边形ABCD中，AQ∥BP，只要再证明AQ=BP即可，即点P所走的路程等于Q点在边AD上未走的路程．
（2）因为四边形ABPQ是梯形，梯形的面积公式（上底+下底）×高÷2，AQ和BP都能用含有t的字母表示出来，缺少高，过A点作BC边上的高，再利用等腰直角三角形的性质和已知条件求出高线即可．
（3）因为平行四边形ABCD的面积可求，利用（2）中的关系式列方程即可．
点评：本题考查了平行四边形的判断方法：有一对对边平行且相等的四边形是平行四边形，梯形的面积公式；等腰直角三角形的性质；和用代数方法（列方程）解决几何问题；动点问题，综合性很强．