Question

如图，在正方形ABCD中，E为BC上一点，且BC=nBE，连接AE，过B点作BM⊥AE，交于AE于点M，交于点N，过E点作EF⊥BC交F，交BN于G．
（1）如图①，当n=2时，求证：EG=FG；
（2）如图②，当n=3时，求证：AN=3CN；
（3）如图③，当n=

1+

2

时，N为FC的中点（直接写出结果，不需要证明）

Answer 1

分析：（1）延长BN交DC于H，证△ABE≌△BCH，推出BE=CH，证△FEC∽△ABC，推出

EF

AB

=

CE

BC

=

1

2

，证△BEG∽△BCH，推出

EG

CH

=

BE

BC

=

1

2

，即可得出答案；
（2）延长BN交DC于H，证△ABE≌△BCH，推出BE=CH，证△CNH∽△ANB，得出比例式，即可得出答案；
（3）延长BN交DC于H，证△ABE≌△BCH，推出BE=CH，证△CNH∽△ANB，得出比例式，得出方程，求出方程的解即可．

解答：
（1）证明：延长BN交DC于H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°，
∵BM⊥AE，
∴∠AMB=90°，
∴∠BAE+∠A∠N=90°，∠ABN+∠CBH=90°，
∴∠BAE=∠CBH，
∵在△ABE和△BCH中，

∠BAE=∠CBH AB=BC ∠ABE=∠BCH

∴△ABE≌△BCH（ASA），
∴BE=CH，
∵AB=BC，BC=2BE，
∴AB=2CH，
∵EF⊥BC，
∴∠FEC=∠ABC=90°，
∴EF∥AB，
∴△FEC∽△ABC，
∴

EF

AB

=

CE

BC

=

1

2

，
同理△BEG∽△BCH，
∴

EG

CH

=

BE

BC

=

1

2

，
∵AB=BC=2BE=2CH，
∴EG=FG．

（2）证明：延长BN交DC于H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°，
∵BM⊥AE，
∴∠AMB=90°，
∴∠BAE+∠A∠N=90°，∠ABN+∠CBH=90°，
∴∠BAE=∠CBH，
∵在△ABE和△BCH中

∠BAE=∠CBH AB=BC ∠ABE=∠BCH

∴△ABE≌△BCH（ASA），
∴BE=CH，
∵AB=BC，BC=3BE，
∴AB=3CH，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，
∴△CNH∽△ANB，
∴

CN

AN

=

CH

AB

，
∵AB=3CH，
∴AN=3CN．

（3）解：当n=1+

2

时，N为FC的中点，
理由是：延长BN交DC于H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°，
∵BM⊥AE，
∴∠AMB=90°，
∴∠BAE+∠A∠N=90°，∠ABN+∠CBH=90°，
∴∠BAE=∠CBH，
∵在△ABE和△BCH中

∠BAE=∠CBH AB=BC ∠ABE=∠BCH

∴△ABE≌△BCH（ASA），
∴BE=CH，
∵AB=BC，BC=nBE，
∴AB=nCH，BE=CH=

1

n

AB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，
∴△CNH∽△ANB，
∴

CN

AN

=

CH

AB

=

1

n

，
∵EF⊥BC，
∴∠FEC=∠ABC=90°，
∴EF∥AB，
∴△FEC∽△ABC，
∴

EF

AB

=

CE

BC

=

CF

AC

=

n-1

n

，
∴AF=

1

n

AC，CF=

n-1

n

AC，
∵N为CF中点，
∴CN=FN=

n-1

2n

AC，
∵

CH

AB

=

CN

AN

∴

1

n

=

n-1 2n

1 n + n-1 2n

，
N=1+

2

，N=1-

2

（是负数，舍去），
故答案为：1+

2

．

点评：本题考查了正方形性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力，本题他们比较典型，证明过程类似．