Question

如图，AB是△ABC外接圆⊙O的直径，D是AB延长线上一点，且BD=

1

2

AB，∠A=30°，CE⊥AB于E，过C的直径交⊙O于点F，连接CD、BF、EF．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求：tan∠BFE的值．

Answer 1

分析：（1）要证明CD是⊙O的切线，只要证明OC⊥CD即可；
（2）过点E作EH⊥BF于H，设EH=a，利用角之间的关系可得到AC∥BF，从而得到BH=

3

EH=a

3

，BE=2EH=2a，进而可得到BF的长，此时可求得FH的长，再根据正切的公式即可求得tan∠BFE的值．

解答：（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠A=30°，
∴BC=

1

2

AB，
∵OB=

1

2

AB，BD=

1

2

AB，
∴BC=OB=BD，
∴BC=

1

2

OD，
∴OC⊥CD，
∵OC是半径，
∴CD是⊙O的切线；

（2）解：过点E作EH⊥BF于H，设EH=a，
∵CF是⊙O直径，
∴∠CBF=90°=∠ACB，
∴∠CBF+∠ACB=180°，
∴AC∥BF，
∴∠ABF=∠A=30°，
∴BH=

3

EH=a

3

，BE=2EH=2a，
∵CE⊥AB于E，
∴∠A+∠ABC=90°=∠ECB+∠ABC，
∴∠ECB=∠A=30°，
∴BC=2BE=4a，
∵∠BFC=∠A=30°，∠CBF=90°，
∴BF=

3

BC=4a

3

，
∴FH=BF-BH=4a

3

-a

3

=3a

3

，
∴tan∠BFE=

EH

FH

=

a

3a 3

=

3

9

．

点评：本题考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．要熟知直角三角形的性质并熟练掌握三角函数值的求法．