Question

在学习了投影知识后，小明同学想能否利用投影的知识来测量斜坡的坡角呢？经过思考小明和他的小组成员采用了以下测量步骤：
（1）如图，在平地和斜坡上各直立一根等长的标杆AB、DE（均与地面垂直），AB在平地上的影长为BC，
（2）在同一时刻分别测量平地上标杆AB的影长BC，斜坡上标杆DE的影长EF，
问题：
（1）请画出在同一时刻标杆DE在山坡上的影长EF（不需尺规作图，只要作出适当的标记）
（2）若标杆AB、DE的长均为2米，测得AB的影长BC为1米，DE的影长EF为2米，求斜坡的坡角α（精确到1°）

Answer 1

解：（1）如图：
①连接AC，
②过点D作DF∥AC，
则EF即为所求影长；

（2）过点E作EM∥BC交DF于点M，过点M作MN⊥EF于点N，
根据题意得：EM=BC=1，DE=EF=2，
∴∠D=∠EFM，∠MEF=α，
∵在Rt△DEN中，tan∠D==，
∴在Rt△FMN中，tan∠MFN==，
设MN=x，则FN=2x，
∴EN=EF-FN=2-2x，
在Rt△EMN中，EM²=EN²+MN²，
即1²=（2-2x）²+x²，
解得：x₁=，x₂=1（舍去），
∴MN=，
∴sinα==，
∴α≈37°．
答：斜坡的坡角α为：37°．
分析：（1）首先连接AC，然后点D作DF∥AC，则可知EF即为所求影长；
（2）首先过点E作EM∥BC交DF于点M，过点M作MN⊥EF于点N，根据题意易得△DEF是等腰三角形，然后由三角函数的定义，可得MN：FN=EM：DE=1：2，则可设MN=x，由勾股定理，可得方程：1²=（2-2x）²+x²，继而可求得sinα==，则可求得答案．
点评：此题考查了坡度坡角问题，考查了等腰三角形的性质、勾股定理、平行线的性质以及锐角三角函数的定义．此题难度较大，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．