题目内容

如图，已知⊙O₁与⊙O₂外切于点C，AB为两圆外公切线，切点为A，B，若⊙O₁的半径为1，⊙O₂的半径为3，则图中阴影部分的面积是

A.
4 $数学公式$ - $数学公式$ π
B.
4 $数学公式$ - $数学公式$ π
C.
8 $数学公式$ - $数学公式$ π
D.
8 $数学公式$ - $数学公式$ π

B
分析：首先连接O₁A，O₂B，O₁O₂，过点O₁作O₁D⊥O₂B于点D，易求得O₁D的长，利用三角函数的知识求得∠O₂的度数，继而可求得梯形与扇形的面积，则可求得答案．
解答：

解：连接O₁A，O₂B，O₁O₂，过点O₁作O₁D⊥O₂B于点D，
∵⊙O₁与⊙O₂外切于点C，AB为两圆外公切线，切点为A，B，⊙O₁的半径为1，⊙O₂的半径为3，
∴四边形AO₁DB是矩形，
∴O₁A=BD，
∴O₁A=1，O₂B=3，O₁O₂=1+3=4，
∴O₂D=3-1=2，
∴O₁D= $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ ，
∴tan∠O₂= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴∠O₂=60°，
∴∠AO₁O₂=180°-∠O₂=120°，
∴S_梯形ABO2O1= $\text{[math]}$ （O₁A+O₂B）•O₁D= $\text{[math]}$ ×（1+3）×2 $\text{[math]}$ =4 $\text{[math]}$ ，S_扇形AO1C= $\text{[math]}$ ×π×1²= $\text{[math]}$ π，S_扇形BO2C= $\text{[math]}$ ×π×3²= $\text{[math]}$ π，
∴S_阴影=S_梯形ABO2O1-S_扇形AO1C-S_扇形BO2C=4 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ π．
故选B．
点评：此题考查了相切两圆的性质、梯形的性质、勾股定理以及三角函数的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．