Question

（2013•来宾）如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，∠BAC=∠CAD，P是线段CD延长线上一点，且∠PAD=∠ABD．
（1）请判断△BCD的形状（不要求证明）；
（2）求证：PA是⊙O的切线；
（3）求证：AP²-DP²=DP•BC．

Answer 1

分析：（1）由圆周角定理可得∠BDC=∠BAC，再由∠BAC=∠CAD，可判断△BCD的形状；
（2）连接OA、OD，则可得∠AOD=180°-2∠OAD，再由∠AOD=2∠ABD=2∠PAD，可得∠PAD=90°-∠OAD，从而可得OA⊥AP，判断出结论．
（3）应用切割线定理可得AP²=PD×PC，然后提取公因式DP后，可得出等式．

解答：解：（1）∵∠BAC=∠CAD，
∴

BC

=

CD

，
∴∠BDC=∠CBD，
∴△BCD是等腰三角形．

（2）连接OA、OD，
则∠AOD=180°-2∠OAD，
∵∠AOD=2∠ABD=2∠PAD，
∴∠PAD=90°-∠OAD，
∴∠PAD+∠OAD=90°，
∴OA⊥AP，
∴PA是⊙O的切线．

（3）∵PA是⊙O的切线，
∴AP²=PD×PC，
∴AP²-DP²=PD×PC-DP²=DP（PC-DP）=DP×CD，
又∵BC=CD，
∴AP²-DP²=DP•BC．

点评：本题考查了圆的综合题，涉及了切线的判定、圆周角定理及等腰三角形的判定，解答本题的关键是熟练有关圆的几个性质及斜线的判定定理，注意直接证明行不通的时候，要学会改变思路，将要证明的等式变形．