Question

如图，已知△BAD和△BCE均为等腰直角三角形，∠BAD=∠BCE=90°，点M为DE的中点，过点E与AD平行的直线交射线AM于点N．

（1）当A，B，C三点在同一直线上时（如图1），求证：M为AN的中点；

（2）将图1中的△BCE绕点B旋转，当A，B，E三点在同一直线上时（如图2），求证：△ACN为等腰直角三角形；

（3）将图1中△BCE绕点B旋转到图3位置时，（2）中的结论是否仍成立？若成立，试证明之，若不成立，请说明理由．

Answer 1

（1）证明：如图1，

∵EN∥AD，

∴∠MAD=∠MNE，∠ADM=∠NEM．

∵点M为DE的中点，

∴DM=EM．

在△ADM和△NEM中，

∴．

∴△ADM≌△NEM．

∴AM=MN．

∴M为AN的中点．

（2）证明：如图2，

∵△BAD和△BCE均为等腰直角三角形，

∴AB=AD，CB=CE，∠CBE=∠CEB=45°．

∵AD∥NE，

∴∠DAE+∠NEA=180°．

∵∠DAE=90°，

∴∠NEA=90°．

∴∠NEC=135°．

∵A，B，E三点在同一直线上，

∴∠ABC=180°﹣∠CBE=135°．

∴∠ABC=∠NEC．

∵△ADM≌△NEM（已证），

∴AD=NE．

∵AD=AB，

∴AB=NE．

在△ABC和△NEC中，

∴△ABC≌△NEC．

∴AC=NC，∠ACB=∠NCE．

∴∠ACN=∠BCE=90°．

∴△ACN为等腰直角三角形．

（3）△ACN仍为等腰直角三角形．

证明：如图3，此时A、B、N三点在同一条直线上．

∵AD∥EN，∠DAB=90°，

∴∠ENA=∠DAN=90°．

∵∠BCE=90°，

∴∠CBN+∠CEN=360°﹣90°﹣90°=180°．

∵A、B、N三点在同一条直线上，

∴∠ABC+∠CBN=180°．

∴∠ABC=∠NEC．

∵△ADM≌△NEM（已证），

∴AD=NE．

∵AD=AB，

∴AB=NE．

在△ABC和△NEC中，

∴△ABC≌△NEC．

∴AC=NC，∠ACB=∠NCE．

∴∠ACN=∠BCE=90°．

∴△ACN为等腰直角三角形．