Question

如图，在直角△ABC中，DE垂直平分斜边AB，分别交AB，BC于D、E，若∠CEA=∠B+∠CAE，则

S△ACE

S△ABC

的值是

 

．

Answer 1

分析：由于∠CEA=∠B+∠CAE=∠B+∠DAE，所以得到∠DAE=∠CAE，又DE垂直平分斜边AB，由此得到∠B=∠DAE，然后利用三角形的内角和可以求出∠B=∠DAE=∠CAE=30°，接着就可以证明△ACE≌△ADE≌△BDE，最后根据全等三角形的性质即可求出

S△ACE

S△ABC

的值．

解答：解：∵∠CEA=∠B+∠CAE=∠B+∠DAE，
∴∠DAE=∠CAE，
又DE垂直平分斜边AB，
∴∠B=∠DAE，
∴∠CAE=∠B=∠DAE，
而∠B+∠CAE+∠DAE+∠C=180°，
又∠C=90°，
∴∠CAE=∠B=∠DAE=30°，CE=DE，
∴∠CEA=∠BED=∠DEA=60°，
∴△ACE≌△ADE≌△BDE，
∴

S△ACE

S△ABC

=

1

3

．
故填

1

3

．

点评：本题考查了角平分线的性质；解题主要利用了三角形的外角的性质、全等三角形的性质与判定、线段的垂直平分线等知识，有一定的综合性．