Question

如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=12mm，BC=24mm，动点P以2mm/s的速度从A向B移动，（不与B重合），动点Q以4mm/s的速度从B向C移动，（不与C重合），若P、Q同时出发，试问经过几秒后，四边形APQC的面积最小？并求出最小值．

Answer 1

分析：用△ABC的面积减去△PBQ的面积，即可得到四边形APQC的面积．列出四边形APQC的面积表达式，即为二次函数表达式，求出二次函数最小值即可．

解答：解：设运动那个时间为t秒，则
S_{四边形APQC}=S_△ABC-S_△PBQ=

1

2

×12×24-

1

2

（12-2t）4t=4t²-24t+144，
根据二次函数的性质，
当t=-

-24

2×4

=3秒时，
函数有最小值为S_最小值=4×3²-24×3+144=144-36=108mm²．

点评：此题考查了动点问题与二次函数的最值问题，根据四边形的面积等于两个三角形的面积之差列出等式，转化为二次函数最值问题是解题的关键．