Question

如图，Rt△ABC中AB=3，BC=4，∠B=90°，点B、C在两坐标轴上滑动．当边AC⊥x轴时，点A刚好在双曲线y=

k

x

上，此时下列结论不正确的是（　　）

• A．点B为（0，

  16

  5

  ）
• B．AC边的高为

  12

  5

• C．双曲线为y=

  12

  x

• D．此时点A与点O距离最大

Answer 1

分析：根据AB=3，BC=4，∠B=90°，利用勾股定理可求AC=5，而AC⊥x轴，易知点A的纵坐标是5，设AC边上的高是h，再结合三角形的面积公式，易求h，进而可得点A的坐标，再代入反比例函数解析式，易求k，从而可得反比例函数解析式，在Rt△BOC中，利用勾股定理可求OB，从而可得点B的坐标．综上可知A、B、C都正确，从而选择D．

解答：解：∵AB=3，BC=4，∠B=90°，
∴AC=5，
∵AC⊥x轴，
∴点A的纵坐标是5，
设AC边上的高是h，
∵S_△ABC=

1

2

×3×4=

1

2

×5•h，
∴h=

12

5

；
∴点A的坐标是（

12

5

，5），
又∵点A在y=

k

x

上，
∴k=12，
∴反比例函数的解析式是y=

12

x

；
∵OC=

12

5

，BC=4，
∴OB=

16

5

（负数舍去），
∴B点坐标是（0，

16

5

）．
综上所述，可知ABC都是正确的，答案D不一定正确，利用排除法可知．
故选D．

点评：本题考查了反比例函数综合题，解题的关键是掌握点与函数解析式之间的密切关系，灵活掌握三角形面积的计算、勾股定理的使用．