Question

如图1，两条射线AP、AQ交于点A，B点在AP上，C点在AQ上，连接CB并延长．
（1）作∠ACB和∠ABD的平分线交于点M，探索∠M与∠A的关系；
（2）如图2，作∠PBC和∠BCQ的平分线交于点N，问当B点和C点在AP和AQ上运动的时候，∠M+∠N的度数和会如何变化？并给出理由．
（3）当∠A的大小在大于0°小于90°间变化时，∠M+∠N的度数变化吗？如果变化请写出∠M+∠N的变化范围．

Answer 1

解：（1）∵在△ABC中，∠ABD=∠A+∠ACB，
又∠1=∠2，∠3=∠4，
∴2∠1=∠A+2∠3，
又在△BCM中，∠1=∠M+∠3，
∴∠A=2∠M；

（2）∵∠PBC=∠A+∠ACB，
∠BCQ=∠A+∠ABC，
∴∠PBC+∠PCQ=∠A+∠ACB+∠ABC+∠A=180°+∠A，
又∵BN、CN是∠PBC和∠BCQ的角平分线，即∠NBC=∠PBC，∠BCN=∠BCQ，
∴∠NBC+∠BCN=（180°+∠A）=90°-∠A，
∴∠N=180°-（∠NBC+∠BCN）=90°+∠A，
∴∠M+∠N=∠A-（90°+∠A）=90°．
故∠M+∠N的度数不变；

（3）根据（2）可以得到∠M+∠N=90°，故∠M+∠N的度数不变．
分析：（1）根据在△ABC中，∠ABD=∠A+∠ACB，以及在△BCM中，∠1=∠M+∠3，即可求解；
（2）根据三角形的外角的性质，可以得到∠PBC+∠PCQ=∠A+∠ACB+∠ABC+∠A=180°+∠A，即可利用∠A表示出∠M，结合（1）的结果即可确定；
（3）与（2）的解法完全相同，直接利用（2）的结果即可说明．
点评：本题考查了三角形的外角的性质，正确证明∠A=2∠M，∠N=90°+∠A是关键．