Question

【题目】如图①，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB＝AC，AB⊥AC，过点A作AE⊥BD于点E.

(1)若BC＝6，求AE的长度；

(2)如图②，点F是BD上一点，连接AF，过点A作AG⊥AF，且AG＝AF，连接GC交AE于点H，证明：GH＝CH.

Answer 1

【答案】(1)AE=；(2)证明见解析.

【解析】

(1)根据题意可得：AB＝AC＝6，可得AO＝3，根据勾股定理可求BO的值，根据S△ABO＝AB×BO＝BO×AE，可求AE的长度.

(2)延长AE到P，使AP＝BF，可证△ABF≌△APC，可得AF＝PC.则GA＝PC，由AG⊥AF，AE⊥BE可得∠GAH＝∠BFA＝∠APC，可证△AGH≌△PHC，结论可得.

解：(1)∵AB＝AC，AB⊥AC，BC＝6

∴AB2+AC2＝BC2，

∴2AC2＝72

∴AC＝AB＝6

∵四边形ABCD是平行四边形

∴AO＝CO＝3

在Rt△AOB中，BO＝＝3

∵S△ABO＝AB×BO＝BO×AE

∴3×6＝3×AE

∴AE＝

(2)如图：延长AE到P，使AP＝BF

∵∠BAC＝90°，AE⊥BE

∴∠BAE+∠ABE＝90°，∠BAE+∠CAE＝90°

∴∠ABE＝∠CAE且AB＝AC，BF＝AP

∴△ABF≌△APC

∴AF＝PC，∠AFB＝∠APC

∵AG⊥AF，AG＝AF

∴AG＝PC

∵∠GAH＝∠GAF+∠FAE＝90°+∠FAE，∠AFB＝∠AEB+∠FAE＝90°+∠FAE

∴∠GAH＝∠AFB

∴∠AFB＝∠GAH＝∠APC，且AG＝PC，∠GHA＝∠CHP

∴△AGH≌△CHP

∴GH＝HC