Question

【题目】（阅读）如图1，四边形OABC中，OA=a，OC=3，BC=2，∠AOC=∠BCO=90°，经过点O的直线l将四边形分成两部分，直线l与OC所成的角设为θ，将四边形OABC的直角∠OCB沿直线l折叠，点C落在点D处，我们把这个操作过程记为FZ [θ，a ]

（理解）若点D与点A重合，则这个操作过程为FZ [45°，3]；

（尝试）

（1）若点D恰为AB的中点（如图2），求θ；

（2）经过FZ[45°，a]操作，点B落在点E处，若点E在四边形OABC的边AB上（如图3），求出a的值；若点E落在四边形OABC的外部，直接写出a的取值范围.

Answer 1

【答案】(1)30°;(2)答案见解析.

【解析】

(1)先根据ASA定理得出△BCD≌△AFD ,故可得出CD＝ FD ,即点D为Rt△COF斜边CF的中点，由折叠可知,OD＝ OC,故OD＝ OC＝ CD,△OCD为等边三角形,∠COD ＝ 60°，根据等边三角形三线合一的性质可得出结论;

(2)根据点E在四边形OABC的边AB上可知AB⊥直线l,根据由折叠可知,OD＝OC＝3,DE＝ BC＝2.再由θ＝ 45°, AB⊥直线l,得出△ADE为等腰直角三角形,故可得出OA的长，由此可得出结论.

(1)连接CD并延长，交0A延长线于点F，在△BCD与△AFD中，，∴ △BCD≌△AFD（ASA）∴CD＝ FD,即点D为Rt△COF斜边CF的中点，∴OD＝CF＝CD，又由折叠可知，OD＝OC，∴OD＝OC＝CD，∴△OCD为等边三角形，∠COD＝60°，∴θ＝∠COD＝30°；

（2）∵点E在四边形OABC的边AB上，∴AB⊥直线l，由折叠可知，OD＝OC＝3，DE＝BC＝2,∵θ＝45°，AB⊥直线l，∴△ADE为等腰直角三角形，∴AD＝DE＝2，∴OA＝OD＋AD＝3＋2＝5，∴a＝5，由图可知，当0＜a＜5时，点E落在四边形OABC的外部.