Question

【题目】已知两个共一个顶点的等腰直角△ABC和等腰直角△CEF，∠ABC=∠CEF=90°，连接AF，M是AF的中点，连接MB、ME．

（1）如图1，当CB与CE在同一直线上时，求证：MB∥CF；

（2）如图1，若CB=a，CE=2a，求BM，ME的长；

（3）如图2，当∠BCE=45°时，求证：BM=ME．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）BM=ME==a（3）见解析

【解析】

试题分析：（1）如答图1a所示，延长AB交CF于点D，证明BM为△ADF的中位线即可；

（2）如答图2a所示，作辅助线，推出BM、ME是两条中位线；

（3）如答图3a所示，作辅助线，推出BM、ME是两条中位线：BM=DF，ME=AG；然后证明△ACG≌△DCF，得到DF=AG，从而证明BM=ME．

（1）证明：如答图1a，延长AB交CF于点D，则易知△ABC与△BCD均为等腰直角三角形，

∴AB=BC=BD，

∴点B为线段AD的中点，

又∵点M为线段AF的中点，

∴BM为△ADF的中位线，

∴BM∥CF；

（2）如答图2a所示，延长AB交CF于点D，则易知△BCD与△ABC为等腰直角三角形，

∴AB=BC=BD=a，AC=CD=a，

∴点B为AD中点，又点M为AF中点，

∴BM=DF．

分别延长FE与CA交于点G，则易知△CEF与△CEG均为等腰直角三角形，

∴CE=EF=GE=2a，CG=CF=2a，

∴点E为FG中点，又点M为AF中点，

∴ME=AG．

∵CG=CF=2a，CA=CD=a，

∴AG=DF=a，

∴BM=ME=×a=a．

（3）如答图3a，延长AB交CE于点D，连接DF，则易知△ABC与△BCD均为等腰直角三角形，

∴AB=BC=BD，AC=CD，

∴点B为AD中点，又点M为AF中点，

∴BM=DF，

延长FE与CB交于点G，连接AG，则易知△CEF与△CEG均为等腰直角三角形，

∴CE=EF=EG，CF=CG，

∴点E为FG中点，又点M为AF中点，

∴ME=AG，

在△ACG与△DCF中，，

∴△ACG≌△DCF（SAS），

∴DF=AG，

∴BM=ME．