题目内容

如图，已知直线与抛物线交于A、B两点．

(1)求A、B两点的坐标；

(2)求线段AB的垂直平分线的解析式；

(3)如图，取与线段AB等长的一根橡皮筋，端点分别固定在A、B两处．用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P在直线AB上方的抛物线上移动，动点P将与A、B构成无数个三角形，这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形?如果存在，求出最大面积，并指出此时P点的坐标；如果不存在，请简要说明理由．

              

解：(1)依题意得，解；或，∴A(6，－3)，B(－4，2)，

(2)作AB的垂直平分线交轴，轴于C，D两点，交AB于M．

由(1)可知：OA=、OB=。

∴AB=。∴。

过B作BE⊥轴，E为垂足。

由△BEO∽OMC，得：，

∴，同理：，∴，。

设CD的解析式为。

∴∴

∴AB的垂直平分线的解析式为：

 (3)若存在点P使△APB的面积最大，则点P在与直线AB平行且和抛物线只有一个交点的直线上，并设该直线与轴，轴交于G、H两点。

∴

∴

∵抛物线与直线只有一个交点，(可用转换)

∴，∴。∴。

在直线GH：中，

∴，

∴。设O到GH的距离为，

∴。

∴。

∴

∵AB∥GH，∴P到AB的距离等于O到GH的距离。

∴。

               

练习册系列答案
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某农场为防风治沙在一山坡上种植一片树苗，并安装了自动喷灌设备．一瞬间，喷水头喷出的水流呈抛物线形．如图所示，建立直角坐标系．已知喷水头B高出地面1.5米，喷水管与山坡所成的夹角∠BOA约63°，水流最高精英家教网点C的坐标为（2，3.5）．    
（1）求此水流抛物线的解析式；
（2）求山坡所在的直线OA的解析式（解析式中的系数精确到0.1）；
（3）计算水喷出后落在山坡上的最远距离OA（精确到0.1m）．

如图，已知抛物y＝x2－ax＋a＋2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D(0，8)，直线DC平行于x轴，交抛物线于另一点C．动点P以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿C→D运动．同时、点Q以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿A→B运动．连结PQ、CB．设点P的运动时间为t秒．

(1)求a的值；

(2)当t为何值时，PQ平行于y轴；

(3)当四边形PQBC的面积等于14时，求t的值．

在平面直角坐标系xoy中， 一块含60°角的三角板作如图摆放，斜边 AB在x轴上，直角顶点C在y轴正半轴上，已知点A（－1，0）．

   （1）请直接写出点B、C的坐标：B（   ，   ）、C（   ，   ）；并求经过A、B、C三点的抛物

线解析式；

   （2）现有与上述三角板完全一样的三角板DEF（其中∠EDF=90°，∠DEF=60°），把顶点E放在线段

AB上（点E是不与A、B两点重合的动点），并使ED所在直线经过点C． 此时，EF所在直线与（1）中的抛物线交于第一象限的点M．

 ①设AE=x，当x为何值时，△OCE∽△OBC；

 ②在①的条件下探究：抛物线的对称轴上是否存在点P使△PEM是等腰三角形，若存在，请求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

 

（本题满分12分）

如图所示，在平面直角坐标系中，顶点为（，）的抛物线交轴于点，交轴于，两点（点在点的左侧）， 已知点坐标为（，）．

 

 

 

 

 

 

 

（1）求此抛物线的解析式；

（2）过点作线段的垂线交抛物线于点，

如果以点为圆心的圆与直线相切，请判断抛物

线的对称轴与⊙有怎样的位置关系，并给出证明；

（3）已知点是抛物线上的一个动点，且位于，

两点之间，问：当点运动到什么位置时，的

面积最大？并求出此时点的坐标和的最大面积.

 

．如图，已 知直线 交坐标轴于两点，以线段为边向上作正方形，过点的抛物线与直线另一个交点为．

（1）请直接写出点的坐标；

（2）求抛物线的解析式；

（3）若正方形以每秒个单位长度的速度沿射线下滑，直至顶点落在x轴上时停止．设正方形落在轴下方部分的面积为，求关于滑行时间的函数关系式，并写出相应自变量的取值范围；

（4）在（3）的条件下，抛物线与正方形一起平移，同时停止，求抛物线上两点间的抛物

线弧所扫过的面积．

 

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