Question

长方形ABCD中，AB=1，AD=，以点B为圆心，BA长为半径作圆交BC于点E．在AE上找一点P，使过点P的⊙B的切线平分长方形的面积．设此切线交AD于点S，交BC于点T，则ST的长为________．

Answer 1

分析：连接BD，由AB=1，AD=，得到BD=2，则BD与弧AE的交点为BD的中点，即为P点，过P作⊙B的切线平分长方形，则BD⊥ST，且PT=PS，而PT=BP=，得到ST=．
解答：连接BD，∵AB=1，AD=，
∴BD=2，
而AB=1，
∴BD与弧AE的交点为BD的中点，即为P点，过P作⊙B的切线平分长方形，如图，

∴BD⊥ST，且PT=PS，
∵PT=BP=，
∴ST=．
故答案为：．
点评：本题考查了切线的性质：圆心与切点的连线垂直切线；过圆心垂直于切线的直线必过切点；过圆外一点引圆的两条切线，切线长相等．也考查了长方形的性质和含30度的直角三角形三边的关系．