Question

长方形ABCD中，DP平分∠ADC交BC于P点，将一个直角三角板的直角顶点放在P点处，并使它的一条直角边过A点，另一条直角边交CD于E点．
（1）找出图中与PA相等的线段．并说明理由．
（2）若点E为CD的三等分点，且BC=6，求BP的长．

Answer 1

分析：（1）可由∠B=∠C=90°，AB=PC，∠APB=∠PEC，证得△ABP≌△PCE，所以PA=PE．
（2）利用点E为CD的三等分点，即可得出DE=

1

3

DC或DE=

2

3

DC，分别求出即可．

解答：解：（1）PE=PA．
理由如下：
由DP平分∠ADC可得∠ADP=∠PDC=45°，
又由AD∥BC可得∠ADP=∠DPC，从而得到∠PDC=∠DPC，
所以PC=DC．
又因为AB=DC，所以AB=PC．
由于直角三角板的直角顶点放在点P处，
所以∠APE=90°．
从而∠APB+∠EPC=90°．
∴∠EPC+∠PEC=90°．
∴∠APB=∠PEC．
在△PAB和△EPC中，

∠B=∠C=90° ∠APB=∠PEC AB=PC

，
所以△PAB≌△EPC（AAS），
从而可得PE=PA．

（2）∵△PAB≌△EPC，
∴AB=PC=CD，
∵BC=6，
∴BP=6-AB，
当DE=

1

3

DC，
∴EC=

2

3

DC=

2

3

AB，
∴6-AB=

2

3

AB，
解得：AB=

18

5

，
∴PB=6-

18

5

=

12

5

，
当DE=

2

3

DC，
∴EC=

1

3

DC=

1

3

AB，
∴6-AB=

1

3

AB，
解得：AB=

9

2

，
∴PB=6-

9

2

=

3

2

，
∴BP的长为：

3

2

或

12

5

．

点评：此题主要考查了矩形的性质以及等腰三角形的性质，把角平分线置于矩形的背景之中，与平行线组合使用，沟通了角与角之间的关系．由于角平分线、平行线都具有转化角的作用，在两者共存的图形中常会出现等腰三角形，所以命题者常将两者组合，设计出精彩纷呈的题目．