题目内容
勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系，其中蕴含着丰富的科学知识和人文价值．如图所示，是一棵由正方形和含30°角的直角三角形按一定规律长成的勾股树，树主干自下而上第一个正方形和第一个直角三角形的面积之和为S1，第二个正方形和第二个直角三角形的面积之和为S2，…，第n个正方形和第n个直角三角形的面积之和为Sn．设第一个正方形的边长为1．请解答下列问题：
（1）S1=
（2）通过探究，用含n的代数式表示Sn，则Sn=
分析：根据正方形的面积公式求出面积，再根据直角三角形三条边的关系运用勾股定理求出三角形的直角边，求出S1，然后利用正方形与三角形面积扩大与缩小的规律推导出公式．
解答：解：（1）∵第一个正方形的边长为1，
∴正方形的面积为1，
又∵直角三角形一个角为30°，
∴三角形的一条直角边为
，另一条直角边就是
=
，
∴三角形的面积为
×
÷2=
，
∴S1=1+
；
（2）∵第二个正方形的边长为
，它的面积就是
，也就是第一个正方形面积的
，
同理，第二个三角形的面积也是第一个三角形的面积的
，
∴S2=（1+
）•
，依此类推，S3=（1+
）•
•
，即S3=（1+
）•(
)2，
Sn=（1+
）•(
)n-1（n为整数）．
∴正方形的面积为1，
又∵直角三角形一个角为30°，
∴三角形的一条直角边为
| 1 |
| 2 |
1 2-(
|
| ||
| 2 |
∴三角形的面积为
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| ||
| 8 |
∴S1=1+
| ||
| 8 |
（2）∵第二个正方形的边长为
| ||
| 2 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
同理，第二个三角形的面积也是第一个三角形的面积的
| 3 |
| 4 |
∴S2=（1+
| ||
| 8 |
| 3 |
| 4 |
| ||
| 8 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| ||
| 8 |
| 3 |
| 4 |
Sn=（1+
| ||
| 8 |
| 3 |
| 4 |
点评：本题重点考查了勾股定理的运用．
练习册系列答案
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定理”．它揭示了一个直角三角形三条边之间的数量关系（如图）．